Aufgabe 1835
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Rampe
Eine Rampe mit einer (schrägen) Länge von d Metern überwindet einen Höhenunterschied von h Metern (d > 0, h > 0). Der Steigungswinkel der Rampe wird mit α bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden Gleichungen an, die den gegebenen Sachverhalt richtig beschreiben.
- Aussage 1: \(d = \dfrac{h}{{\sin \left( \alpha \right)}}\)
- Aussage 2: \(d = h \cdot \cos \left( \alpha \right)\)
- Aussage 3: \(d = \dfrac{h}{{\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}}\)
- Aussage 4: \(d = h \cdot \sin \left( {90^\circ - \alpha } \right)\)
- Aussage 5: \(d = h \cdot \tan \left( \alpha \right)\)
[2 aus 5]
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Zunächst fertigen wir eine Skizze an, etwa wie folgt:
- d = schräge Länge = Hypotenuse
- α = Steigungswinkel
- h = Höhenunterschied = Gegenkathete
Zu Hypotenuse und Gegenkathete fällt uns der Sinus ein: Der Sinus vom Winkel α entspricht dem Verhältnis von Gegenkathete zur Hypotenuse:
\(\eqalign{ & \sin \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}} \cr & {\text{Hypotenuse d = }}\dfrac{{{\text{Gegenkathete h}}}}{{\sin \left( \alpha \right)}} \cr} \)
Nach der Umformung obiger Gleichung erhalten wir direkt Aussage 1, die somit richtig ist. Damit sind die Aussagen 2 und 5 aus dem Rennen.
Zu Hypotenuse und Ankathete fällt uns der Kosinus ein:. Der Kosinus vom Winkel \(\beta = 90 - \alpha \) entspricht dem Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse:
\(\eqalign{ & \cos \left( \beta \right) = \cos \left( {90^\circ - \alpha } \right) = \dfrac{{{\text{Ankathete}}}}{{{\text{Hypotenuse}}}} \cr & {\text{Hypotenuse d = }}\dfrac{{{\text{Ankathete h}}}}{{\cos \left( {90^\circ - \alpha } \right)}} \cr} \)
Nach der Umformung obiger Gleichung erhalten wir direkt Aussage 3, die somit richtig ist. Damit ist auch die Aussagen 4 aus dem Rennen.
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.