Aufgabe 1537
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 12. Jänner 2017 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parallele Gerade
Gegeben ist die Gerade \(g:X = \left( \begin{array}{l} 1\\ - 2 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{l} 2\\ 3 \end{array} \right)\). Die Gerade h verläuft parallel zu g durch den Koordinatenursprung.
Aufgabenstellung:
Geben Sie die Gleichung der Geraden h in der Form \(a \cdot x + b \cdot y = c\) mit \(a,b,c \in {\Bbb R}\) an!
Lösungsweg
Es soll zu einer Geraden g die in Parameterform gegeben ist eine parallele Gerade durch den Ursprung in impliziter Form gefunden werden.
Wir entnehmen der Angabe, dass die Gerade h durch den Ursprung verläuft, somit gilt: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right) \in h\) und daher muss \(d = 0\)gelten.
Weiters entnehmen wir der Angabe, dass \(h\parallel g \Rightarrow {k_h} = {k_g}\). Aus dem Richtungsvektor von g \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right)\) können wir k (gilt, weil die Geraden parallel sind, für g und für h) wie folgt ermitteln: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ k \end{array}} \right) \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ {\dfrac{3}{2}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ k \end{array}} \right) \Rightarrow k = \dfrac{3}{2} = 1,5\)
Die - nicht gefragte - explizite Form von h lautet: \(h:y = 1,5 \cdot x + 0\). Daraus erhalten wir nach einer Umformung die gesuchte implizite Form: \(h: - 1,5x + y = 0\)
oder alternativ, falls wir mit k als Bruch weiter rechnen:
\(\begin{array}{l} h:y = \dfrac{3}{2} \cdot x + 0\,\,\,\,\,\left| { \cdot 2} \right.\\ 2 \cdot y = 3 \cdot x\,\,\,\,\,\left| { - 2 \cdot y} \right.\\ h:3 \cdot x - 2 \cdot y = 0 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(h: - 1,5x + y = 0\)
oder alternativ:
\(h:3x - 2y = 0\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine korrekte Gleichung. Äquivalente Gleichungen sind als richtig zu werten.