Aufgabe 1442

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21.September 2015 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Schnittpunkt einer Geraden mit der x-Achse

Gegeben ist folgende Parameterdarstellung einer Geraden g: \(g:\,\,X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 5} \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 7 \end{array}} \right)\) mit \(t \in {\Bbb R}\)

Aufgabenstellung:
Geben Sie die fehlende Koordinate des Schnittpunktes \(S\left( {{S_x}\left| 0 \right.} \right)\) der Geraden g mit der x-Achse an!

Lösungsweg

Wir wissen, dass der Schnittpunkt S der Geraden mit der x-Achse folgende 2 Bedingungen erfüllen muss:

  1. Er liegt auf der Geraden g und muss daher die gegebene Geradengleichung erfüllen
  2. Da er die x-Achse schneidet, muss gelten: Sy=0

Der Schnittpunkt " liegt auf der Geraden g und muss daher die gegebene Geradengleichung erfüllen:

Wir setzen Sx und Sy in die gegebene Geradengleichung ein und ermitteln aus der Gleichung für die y-Komponente den Wert von t.

\(\begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} 1& + &t& = &{{S_x}}\\ { - 5}& + &{7t}& = &{0 = {S_y}} \end{array}\\ 7t = 5\\ t = \dfrac{5}{7} \end{array}\)

Dieses t muss auch für die x-Komponente gelten, damit der Punkt S auch tatsächlich auf der Geraden liegt. Wir setzen daher t in die Gleichung für die x-Komponente wie folgt ein:

\(\begin{array}{l} 1 + \dfrac{5}{7} = {S_x}\\ {S_x} = \dfrac{{7 + 5}}{7} = \dfrac{{12}}{7} \approx 1,715 \end{array}\)

Somit:

\(\begin{array}{l} S \approx \left( {1,715\left| 0 \right.} \right)\\ {S_x} \approx 1,715 \end{array}\)

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

\({S_x} \approx 1,715\)

Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall für die x Koordinate: [1,70; 1,72]
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei beide Koordinaten des gesuchten Punktes korrekt angegeben sein müssen. Andere Schreibweisen des Ergebnisses sind ebenfalls als richtig zu werten.