Aufgabe 11248
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zwei Gerade im Raum – 11248. Aufgabe 1_1248
Gegeben sind zwei Geraden g und h in ℝ3.
\(\eqalign{ & g:X = A + t \cdot \overrightarrow a {\text{ mit }}t \in {\Bbb R} \cr & h:X = B + s \cdot \overrightarrow b {\text{ mit }}s \in {\Bbb R} \cr} \)
Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Ergänzen Sie die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht.
Falls _____1_____ gilt, sind die Geraden g und h auf jeden Fall _____2_____ .
- Satzteil 1_1: \(A \notin h{\text{ und }}\overrightarrow a = \overrightarrow b \)
- Satzteil 1_2: \(B \in g{\text{ und }}\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\)
- Satzteil 1_3: \(\overrightarrow a = r \cdot \overrightarrow b {\text{ mit r}} \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}{\text{ und }}B \notin g\)
- Satzteil 2_1: schneidend
- Satzteil 2_2: identisch
- Satzteil 2_3: windschief
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Zunächst überlegen wir uns welche Voraussetzungen gegeben sein müssen, damit 2 Geraden schneidend, identisch oder windschief sind:
- Schneidend: 1 gemeinsamer (Schnitt)Punkt und nicht kollineare Richtungsvektoren
- Identisch: 1 gemeinsamer Punkt und kollineare Richtungsvektoren
- Windschief: kein gemeinsamer Punkt und nicht kollineare Richtungsvektoren
Satzteil 1_1 bedeutet, dass der Punkt A der Geraden g nicht auch ein Punkt der Geraden h ist. Da die beiden Richtungsvektoren gleich sind, handelt es sich um parallele Geraden, die aber nicht zur Auswahl stehen. Anmerkung: Windschiefe Gerade können nicht parallel sein, weil sie sonst einen Schnittpunkt im Unendlichen hätten.
Satzteil 1_2 bedeutet, dass der Punkt B der Geraden h auch ein Punkt der Geraden g ist. B ist also ein Schnittpunkt. Da zudem das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren a und b null ist, stehen die beiden Geraden im rechten Winkel auf einander → Somit schneiden sich die beiden Geraden und die Lösung ist gefunden.
Satzteil 1_3 bedeutet, dass der Punkt B der Geraden h nicht auch ein Punkt der Geraden g ist. Zudem sind die beiden Richtungsvektoren linear abhängig also kollinear. Es handelt sich erneut um parallele Geraden, die aber nicht zur Auswahl stehen.
Falls \(B \in g{\text{ und }}\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\) gilt, sind die Geraden g und h auf jeden Fall schneidend.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Falls \(B \in g{\text{ und }}\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0\) gilt, sind die Geraden g und h auf jeden Fall schneidend.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das Ankreuzen der beiden richtigen Satzteile.