Aufgabe 11247
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Teilungspunkt einer Rechteckseite – 11247. Aufgabe 1_1247
Nachstehend ist ein Rechteck mit den Eckpunkten A, B, C und D dargestellt. Der Punkt T teilt die Strecke CD im Verhältnis 3 : 1 (siehe nachstehende Abbildung).
Abbildung fehlt
Für den Punkt T gilt:
\(T = A + r \cdot \overrightarrow {AB} + s \cdot \overrightarrow {DA} {\text{ mit }}r,s \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie r und s.
r =
s =
[0 / ½ / 1 P.]
Lösungsweg
Wir führen einen Hilfspunkt H ein, welcher die Strecke AB im Verhältnis 3 : 1 teilt.
Abbildung fehlt
Eine Teilung im Verhältnis 3:1 bedeutet, dass sich die Strecke aus 4 Vierteln zusammensetzt. Ein Viertel der Stecke CD bzw. AB liegt links von T bzw. H und drei Viertel der Stecke CD bzw. AB liegt rechts von T bzw. H.
Der Skalierungsfaktor r muss daher +¼ der Stecke AB ausmachen. Somit:
\(\eqalign{ & H = A + \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {AB} \cr & r = \frac{1}{4} \cr} \)
Nun benötigen wir einen Vektor von H zu T. Das entspricht dem Vektor von A zu D. In der gegebenen Gleichung steht aber unglücklicher Weise nicht der Vektor AD sondern der Vektor DA. Daher muss s=-1 sein, damit Vektor DA die erforderliche Orientierung wie der Vektor AD hat.
\(\eqalign{ & \overrightarrow {HT} = \overrightarrow {AD} = s \cdot \overrightarrow {DA} {\text{ }} \to {\text{s = - 1}} \cr & \cr & T = A + \dfrac{1}{4} \cdot \overrightarrow {AB} - 1 \cdot \overrightarrow {DA} \cr} \)
Die gesuchten Skalierungsfaktoren lauten daher:
\(r = \dfrac{1}{4};\,\,\,\,\,s = - 1;\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(r = \dfrac{1}{4};\,\,\,\,\,s = - 1;\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ermitteln von r und s, ein halber Punkt für nur einen richtigen Wert.