Aufgabe 1089
AHS - 1_089 & Lehrstoff: AG 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Idente Geraden
Gegeben sind die beiden Geraden \(g:\,\,\,X = P + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_1}} \\ {{g_2}} \\ {{g_3}} \end{array}} \right)\)und \({\rm{h:}}\,\,\,{\rm{X = Q + s}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right)\)mit \({\text{t}}{\text{,}}\,\,{\text{s}} \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie an, welche Schritte notwendig sind, um die Identität der Geraden nachzuweisen!
Lösungsweg
Damit 2 Geraden zu einander ident sind,
- müssen die Richtungsvektoren kollinear (=linear (über ein \(\lambda\)) abhängig von einander) dh parallel sein
- Nachweis von 1 gemeinsamen Punkt
- Kriterium für parallele Geraden:
Die beiden Richtungsvektoren sind von einander abhängig, wenn der Richtungsvektor der einen Geraden ein Vielfaches vom Richtungsvektor der anderen Geraden ist: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {t \cdot {g_1}}\\ {t \cdot {g_2}}\\ {t \cdot {g_3}} \end{array}} \right) = \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {s \cdot {h_1}}\\ {s \cdot {h_2}}\\ {s \cdot {h_3}} \end{array}} \right)\)
- Zusätzliches Kriterium für idente Geraden:
1 gemeinsamer Punkt: Q muss die Gleichung von g erfüllen \(P = Q + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right)\) bzw. P muss die Gleichung von h erfüllen \(Q = P + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_1}}\\ {{g_2}}\\ {{g_3}} \end{array}} \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Wenn der Richtungsvektor der Geraden g ein Vielfaches des Richtungsvektors der Geraden h ist (bzw. umgekehrt h ein Vielfaches von g ist), so sind die beiden Geraden parallel oder ident.
- Liegt außerdem noch der Punkt P auf der Geraden h (seine Koordinaten müssen die Gleichung \(P = Q + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{h_1}}\\ {{h_2}}\\ {{h_3}} \end{array}} \right)\)erfüllen) bzw. liegt der Punkt Q auf der Geraden g (seine Koordinaten müssen die Gleichung \(Q = P + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{g_1}}\\ {{g_2}}\\ {{g_3}} \end{array}} \right)\)erfüllen), so sind die Geraden ident.
Lösungsschlüssel:
Antworten, die sinngemäß der Lösungserwartung entsprechen, sind als richtig zu werten.