Prüfungsteil B - Analysis
Hier findest du folgende Inhalte
Aufgaben
Aufgabe 6051
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,00 m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph Gf gemäß \(f:x \mapsto {e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}\) aus Aufgabe 6050 beschreibt im Bereich \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right)\) modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F1 und F2 der Masten durch die Punkte \(\left( { - 4\left| 0 \right.} \right){\text{ bzw}}{\text{. }}\left( {4\left| 0 \right.} \right)\) dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau.
2. Teilaufgabe b) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 6050 8. Teilaufgabe h) \({L_{0;b}} = {e^{\dfrac{1}{2} \cdot b}} - {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot b}}\) die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau.
3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Der Graph von f soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in \({\Bbb R}\) definierte quadratische Funktion q betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt \(\left( {0\left| 2 \right.} \right)\) hat und durch den Punkt \(P\left( {4\left| {f\left( 4 \right)} \right.} \right)\) verläuft. Ermitteln Sie den Term q(x) der Funktion q, ohne dabei zu runden.
4. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Für jedes \(x \in \left] {0;4} \right[\) wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte \(\left( {x\left| {q\left( x \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {x\left| {f\left( x \right)} \right.} \right)\) der Graphen von q bzw. f betrachtet, wobei in diesem Bereich \(q\left( x \right) > f\left( x \right)\) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen Gf im Bereich \(\left( {0 < x < 4} \right)\) annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann.
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 6052
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Im Rahmen eines W-Seminars modellieren Schülerinnen und Schüler einen Tunnelquerschnitt, der senkrecht zum Tunnelverlauf liegt. Dazu beschreiben sie den Querschnitt der Tunnelwand durch den Graphen einer Funktion in einem Koordinatensystem. Der Querschnitt des Tunnelbodens liegt dabei auf der x-Achse, sein Mittelpunkt M im Ursprung des Koordinatensystems; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. Für den Tunnelquerschnitt sollen folgende Bedingungen gelten:
- I Breite des Tunnelbodens: b=10 m
- II Höhe des Tunnels an der höchsten Stelle: h=5 m
- III Der Tunnel ist auf einer Breite von mindestens 6m mindestens 4m hoch.
1. Teilaufgabe a) 6 BE - Bearbeitungszeit: 14:00
Eine erste Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet die Funktion
\(p:x \mapsto - 0,2 \cdot {x^2} + 5{\text{ mit }}{{\text{D}}_p} = \left[ { - 5;5} \right]\).
Zeigen Sie, dass die Bedingungen I und II in diesem Modell erfüllt sind. Berechnen Sie die Größe des spitzen Winkels, unter dem bei dieser Modellierung die linke Tunnelwand auf den Tunnelboden trifft.
2. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Die Schülerinnen und Schüler untersuchen nun den Abstand d(x) der Graphenpunkte \({P_x}\left( {x\left| {p\left( x \right)} \right.} \right)\) vom Ursprung des Koordinatensystems. Zeigen Sie, dass
\(d\left( x \right) = \sqrt {0,04 \cdot {x^4} - {x^2} + 25} \) gilt.
3. Teilaufgabe c) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Es gibt Punkte des Querschnitts der Tunnelwand, deren Abstand zu M minimal ist. Bestimmen Sie die x-Koordinaten der Punkte Px , für die d(x) minimal ist, und geben Sie davon ausgehend diesen minimalen Abstand an.
4. Teilaufgabe a) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Eine zweite Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand verwendet eine Kosinusfunktion vom Typ
\(k:x \mapsto 5 \cdot \cos \left( {c \cdot x} \right){\text{ mit }}c \in {\Bbb R}{\text{ und }}{{\text{D}}_k} = \left[ { - 5;5} \right]\),
bei der offensichtlich Bedingung II erfüllt ist. Bestimmen Sie c so, dass auch Bedingung I erfüllt ist, und berechnen Sie damit den Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels.
Zur Kontrolle: \(c = \dfrac{\pi }{{10}}\) und Inhalt der Querschnittsfläche: \(\dfrac{{100}}{\pi }{{\text{m}}^2}\)
5. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeigen Sie, dass Bedingung III weder bei einer Modellierung mit p aus Aufgabe 1 noch bei einer Modellierung mit k erfüllt ist.
6. Teilaufgabe a) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Eine dritte Modellierung des Querschnitts der Tunnelwand, bei der ebenfalls die Bedingungen I und II erfüllt sind, verwendet die Funktion
\(f:x \mapsto \sqrt {25 - {x^2}} {\text{ mit }}{D_f} = \left[ { - 5;5} \right]\)
Begründen Sie, dass in diesem Modell jeder Punkt des Querschnitts der Tunnelwand von der Bodenmitte M den Abstand 5m hat. Zeichnen Sie den Graphen von f in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf spätere Aufgaben: \(\left( { - 5 \leqslant x \leqslant 9} \right)\,\,\,\,\,\left( { - 1 \leqslant y \leqslant 13} \right)\) und begründen Sie, dass bei dieser Modellierung auch Bedingung III erfüllt ist.
7. Teilaufgabe b) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Betrachtet wird nun die Integralfunktion
\(F:x \mapsto \int\limits_0^x {f\left( t \right)} \,\,dt{\text{ mit }}{D_f} = \left[ { - 5;5} \right]\)
Zeigen Sie mithilfe einer geometrischen Überlegung, dass \(F\left( 5 \right) = \dfrac{{25}}{4} \cdot \pi \) gilt.
Einer der Graphen A, B und C ist der Graph von F. Entscheiden Sie, welcher dies ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung, indem Sie erklären, warum die beiden anderen Graphen nicht infrage kommen.
8. Teilaufgabe c) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Berechnen Sie, um wie viel Prozent der Inhalt der Querschnittsfläche des Tunnels bei einer Modellierung mit f von dem in Aufgabe 2a berechneten Wert abweicht.
9. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Der Tunnel soll durch einen Berg führen. Im betrachteten Querschnitt wird das Profil des Berghangs über dem Tunnel durch eine Gerade g mit der Gleichung
\(y = - \dfrac{4}{3} \cdot x + 12\) modelliert. Zeigen Sie, dass die Tangente t an den Graphen von f im Punkt \(R\left( {4\left( {f\left( 4 \right)} \right)} \right)\) parallel zu g verläuft. Zeichnen Sie g und t in das Koordinatensystem aus Aufgabe 3a ein.
10. Teilaufgabe e) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Der Punkt R aus Aufgabe 3d entspricht demjenigen Punkt der Tunnelwand, der im betrachteten Querschnitt vom Hangprofil den kleinsten Abstand e in Metern hat. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte eines Verfahrens zur rechnerischen Ermittlung von e.
Aufgabe 6059
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Abbildung zeigt modellhaft die Profillinie einer Skisprunganlage, die aus der Sprungschanze und dem Aufsprunghang besteht. Das kartesische Koordinatensystem ist so gewählt, dass die x-Achse die Horizontale beschreibt und der Koordinatenursprung mit dem Ende der Anlaufspur, dem sogenannten Absprungpunkt, zusammenfällt; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei einem Meter in der Realität.
1. Teilaufgabe a) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Der höchste Punkt der Anlaufspur wird durch den Punkt \(S\left( { - 94\left| {51} \right.} \right)\) dargestellt. Die Anlaufspur verläuft im Modell zwischen den Punkten S und P entlang einer Geraden, die gegenüber der x-Achse um -35° geneigt ist. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden durch S und P. Runden Sie im Ergebnis auf eine Nachkommastelle.
2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Die Punkte S und P liegen in der Realität 50 m voneinander entfernt. Berechnen Sie die Koordinaten von P auf eine Nachkommastelle genau.
3. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Der Aufsprunghang beginnt im Modell im Punkt D, der sich vertikal unterhalb des Absprungpunkts befindet. Die Profillinie des Aufsprunghangs lässt sich im Bereich \(\left[ {0;160} \right]\) durch die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion
\(h:x \mapsto 3,36 \cdot {10^{ - 5}} \cdot {x^3} - 0,00827 \cdot {x^2} - 0,0455 \cdot x - 3,38\)
beschreiben. Geben Sie die Höhe des Absprungpunkts über dem Beginn des Aufsprunghangs sowie die Steigung des Aufsprunghangs in seinem Beginn an.
4. Teilaufgabe b) 8 BE - Bearbeitungszeit: 18:40
Derjenige Punkt, in dem die Profillinie im unteren Bereich des Aufsprunghangs einen Neigungswinkel von -32° gegenüber der Horizontalen aufweist, wird als Hillsize-Punkt bezeichnet (vgl. Abbildung). Die Größe einer Skisprunganlage wird durch die Länge der Strecke zwischen dem Absprungpunkt und dem Hillsize-Punkt festgelegt und als Hillsize bezeichnet.
Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells die Hillsize auf Meter genau und berechnen Sie deren prozentuale Abweichung von der tatsächlichen Hillsize dieser Skisprunganlage, die 132 m beträgt.
5. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
(Im Abitur als separate Aufgabe geführt)
Zur Beschreibung der Flugkurve eines Skispringers wird die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion
\(s:x \mapsto - 4,2 \cdot {10^{ - 3}} \cdot {x^2} - 0,1 \cdot x\)
verwendet. Dabei ist die Sprungweite die Länge der Profillinie des Aufsprunghangs zwischen dem Punkt D und dem Punkt L, der den Landepunkt des Skispringers auf dem Aufsprunghang beschreibt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts L auf eine Nachkommastelle genau.
(Teilergebnis: x-Koordinate des Punkts L: 114,6)
Die als Kurvenlänge ; bezeichnete Länge des Graphen der Funktion h zwischen den Punkten (a | h(a)) und (b | h(b)) mit a < b kann mithilfe der Formel
\(l = \int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left[ {h'\left( x \right)} \right]}^2}} } \,dx\)
berechnet werden.
Hinweis: Führen Sie die Berechnungen in den Teilaufgaben 6 und 7 mit dem CAS jeweils näherungsweise durch!
6. Teilaufgabe b) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Bestimmen Sie die Sprungweite des Skispringers; berücksichtigen Sie dabei, dass beim Skispringen Sprungweiten nur auf halbe Meter genau angegeben werden.
(Ergebnis: 132,5m)
7. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Der K-Punkt (kritischer Punkt) der hier betrachteten Skisprunganlage liegt so auf der Profillinie, dass die Kurvenlänge zwischen ihm und dem Beginn des Aufsprunghangs, die sogenannte K-Punkt-Weite, 120 m beträgt. Ermitteln Sie die Koordinaten des K-Punkts auf eine Nachkommastelle genau.
8. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Für einen Sprung auf den K-Punkt einer Skisprunganlage bekommt ein Springer 60 Weitenpunkte. Für jeden halben Meter, den er kürzer bzw. weiter springt, werden Weitenpunkte gemäß nachstehender Tabelle subtrahiert bzw. addiert.
K-Punkt-Weite der Sprunganlage in Metern | Weitenpunkte pro halben Meter |
70-79 | 1,1 |
80-99 | 1,0 |
100-169 | 0,9 |
ab 170 | 0,6 |
Bestimmen Sie die Gesamtzahl der Weitenpunkte für den betrachteten Sprung.
9. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Die Landung ist für den Springer umso schwieriger, je größer der Winkel zwischen Aufsprunghang und Flugkurve im Landepunkt ist. Berechnen Sie die Größe dieses Winkels für den betrachteten Sprung.
10. Teilaufgabe f) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Formulieren Sie im Sachzusammenhang eine Aufgabenstellung, die mit folgendem Lösungsweg gelöst werden kann.
\(\eqalign{ & d\left( x \right) = s\left( x \right) - h\left( x \right) \cr & d'\left( x \right) = 0 \Rightarrow {x_1} \approx 7,4;\,\,\,{x_2} \approx 73,4 \cr & d\left( {{x_1}} \right) \approx 3,2;\,\,\,\,\,d\left( {{x_2}} \right) \approx 8,0 \cr} \)
→ Der gesuchte Wert beträgt etwa 8,0m.
11. Teilaufgabe g) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Zur Beschreibung der Flugkurve eines zweiten Skispringers wird die in IR definierte Funktion t verwendet. Dabei gilt:
\(\eqalign{ & t\left( 0 \right) = 0 \cr & t'\left( 0 \right) = - 0,087 \cr & t\left( {105} \right) = h\left( {105} \right) \cr} \)
Entscheiden Sie jeweils, welcher der beiden Skispringer unter einem betragsmäßig größeren Winkel gegenüber der Horizontalen abspringt und welcher die größere Sprungweite erzielt. Begründen Sie Ihre Entscheidungen.
Aufgabe 6060
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \dfrac{x}{{x + 3}}\) mit maximalem Definitionsbereich Df . Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
1. Teilaufgabe a) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Geben Sie Df , den Wertebereich Wf von f sowie die Gleichungen aller Asymptoten von Gf an.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Der Graph der Funktion g geht aus Gf durch eine Verschiebung hervor und ist symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs. Geben Sie eine Gleichung von g an.
3. Teilaufgabe c) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Die Funktion f ist umkehrbar. Beschreiben Sie, wie man den Term der Umkehrfunktion von f bestimmen kann, und geben Sie Definitions- und Wertebereich der Umkehrfunktion von f an.
4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Der Graph der Funktion f und der Graph der Umkehrfunktion von f schneiden sich im Koordinatenursprung. Bestimmen Sie die Größe des Winkels, den die beiden Graphen im Koordinatenursprung einschließen.
5. Teilaufgabe e) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Die Punkte \(O\left( {0\left| 0 \right.} \right){\text{ und A}}\left( {a\left| 1 \right.} \right){\text{ mit }}a \in {{\Bbb R}^ + }\) sind Eckpunkte eines Rechtecks, dessen Seiten parallel zur x-Achse bzw. zur y-Achse sind. Das Rechteck wird von Gf in zwei Teilflächen gleichen Inhalts zerlegt. Bestimmen Sie einen Näherungswert für a auf zwei Dezimalen genau.
Aufgabe 6061
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Schar der in \({\Bbb R}\) definierten Funktionen \({f_k}:x \mapsto \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2} + {k^2}}}{\text{ mit }}k \in {{\Bbb R}^ + }\) .
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie ausschließlich anhand des Funktionsterms fk(x), ohne Verwendung von Ableitungen, dass alle Funktionen fk an der Stelle x=0 ein Minimum besitzen.
2. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Weisen Sie nach, dass alle Wendepunkte der Graphen der Schar fk auf einer Parallelen zur x-Achse liegen.
3. Teilaufgabe c) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
In dieser Aufgabe ist k=4. Für jedes \(r \in {{\Bbb R}^ + }\) legen die Punkte \(O\left( {0\left| 0 \right.} \right),\,\,{P_p}\left( {p\left| {{f_4}\left( p \right)} \right.} \right){\text{ und }}{Q_p}\left( {p\left| 1 \right.} \right)\) das Dreieck OPpQp fest. Bestimmen Sie dessen Flächeninhalt Ap in Abhängigkeit von p und ermitteln Sie anschließend denjenigen Wert von p, für den der Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks maximal ist.
Teilergebnis: \({A_p} = \dfrac{{8p}}{{{p^2} + 16}}\)
Schon den nächsten Urlaub geplant?
Auf maths2mind kostenlos auf Prüfungen vorbereiten!
Nach der Prüfung mit dem gesparten Geld deinen Erfolg genießen.
Aufgabe 6062
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Betrachtet wird die in \({\Bbb R}\) definierte Funktion \(w:x \mapsto 13,5 \cdot \sin \left( {\dfrac{\pi }{{50}} \cdot x} \right)\)
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Zeichnen Sie den Graphen der Funktion w im Intervall \(\left[ { - 25;175} \right]\) in ein geeignet skaliertes Koordinatensystem ein.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Geben Sie an, wie der Graph der Funktion w schrittweise aus dem Graphen der in \({\Bbb R}\) definierten Funktion \(s:x \mapsto \sin \left( x \right)\) hervorgeht.
3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Ein quaderförmiges Aluminiumblech besitzt eine quadratische Grundfläche der Seitenlänge 1m und eine Dicke von 2,0 mm. Es wird in einer Maschine zu einem Wellblechelement mit unverändertem Volumen umgeformt (vgl. nachfolgende Abbildung).
Illustration fehlt
Bildquelle: https://www.montana-ag.ch/de/produkte/wellbandprofile/swiss-panel-wellb… Stand 09.08.2023
Von oben betrachtet deckt das Wellblechelement weiterhin ein Quadrat der Seitenlänge 1m ab, seine mittlere Dicke ist folglich geringer als 2,0 mm. Die Profillinie des Wellblechelements kann durch ein Teilstück des Graphen von w beschrieben werden; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht dabei 1 mm in der Realität.
Bestimmen Sie die mittlere Dicke des Wellblechelements auf Zehntelmillimeter genau. Verwenden Sie dabei, dass für die Länge l des Funktionsgraphen der Funktion w zwischen den Punkten
\(\left( {a\left| {w\left( a \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {b\left| {w\left( b \right)} \right.} \right){\text{ mit }}a < b{\text{ gilt: l = }}\int\limits_a^b {\sqrt {1 + {{\left[ {w'\left( x \right)} \right]}^2}} } \,\,dx\)
4. Teilaufgabe d) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Das Wellblechelement wird auf einer ebenen Dachfläche so angebracht, dass es unmittelbar aufliegt. Der dabei entstehende Hohlraum wird ausgeschäumt. Bestimmen Sie das Volumen, das der Schaum einnimmt; vernachlässigen Sie dabei die Dicke des Wellblechelements.