Aufgabe 6051
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil B - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,00 m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph Gf gemäß \(f:x \mapsto {e^{\dfrac{1}{2} \cdot x}} + {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot x}}\) aus Aufgabe 6050 beschreibt im Bereich \(\left( { - 4 \leqslant x \leqslant 4} \right)\) modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F1 und F2 der Masten durch die Punkte \(\left( { - 4\left| 0 \right.} \right){\text{ bzw}}{\text{. }}\left( {4\left| 0 \right.} \right)\) dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.
1. Teilaufgabe a) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau.
2. Teilaufgabe b) 5 BE - Bearbeitungszeit: 11:40
Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 6050 8. Teilaufgabe h) \({L_{0;b}} = {e^{\dfrac{1}{2} \cdot b}} - {e^{ - \dfrac{1}{2} \cdot b}}\) die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau.
3. Teilaufgabe c) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Der Graph von f soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in \({\Bbb R}\) definierte quadratische Funktion q betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt \(\left( {0\left| 2 \right.} \right)\) hat und durch den Punkt \(P\left( {4\left| {f\left( 4 \right)} \right.} \right)\) verläuft. Ermitteln Sie den Term q(x) der Funktion q, ohne dabei zu runden.
4. Teilaufgabe d) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Für jedes \(x \in \left] {0;4} \right[\) wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte \(\left( {x\left| {q\left( x \right)} \right.} \right){\text{ und }}\left( {x\left| {f\left( x \right)} \right.} \right)\) der Graphen von q bzw. f betrachtet, wobei in diesem Bereich \(q\left( x \right) > f\left( x \right)\) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen Gf im Bereich \(\left( {0 < x < 4} \right)\) annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe