Aufgabe 6042
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Geben Sie jeweils den Term und den Definitionsbereich einer Funktion an, die die angegebene(n) Eigenschaft(en) besitzt.
1. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Der Punkt \(\left( {2\left| 0 \right.} \right)\) ist ein Wendepunkt des Graphen von g.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Der Graph der Funktion h ist streng monoton fallend und rechtsgekrümmt.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Damit eine Funktion überhaupt einen Wendepunkt haben kann, muss sie mindestens vom 3. Grad sein. Die einfachste Funktion vom 3. Grad lautet: \(f\left( x \right) = {x^3}\)
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
Die Funktion \(f\left( x \right) = {x^3}\) hat den Wendepunkt an der Stelle (0|0) und nicht wie gefordert an der Stelle (2|0). Wir müssen also f(x) um 2 Einheiten in Richtung der positiven x-Achse verschieben und das geht wir folgt: \(g(x) = {\left( {x - 2} \right)^3}\)
2. Teilaufgabe:
Der Graph der Funktion h sei streng monoton fallend und rechtsgekrümmt.
Damit eine Funktion streng monoton fallend ist, muss gelten:
\(\forall {x_1},{x_2} \in {D_f}:{x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) > f\left( {{x_2}} \right)\)
Damit eine Funktion rechtsgekrümmt ist, muss gelten:
\(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) bzw. f‘ ist fallend
1. Möglichkeit
Die quadratische Funktion \(h\left( x \right) = {x^2}\) hat die Form einer Parabel. Damit der Graph der Funktion fallend ist, muss die Funktion aber \(h\left( x \right) = - {x^2}\) lauten, es handelt sich dabei um eine nach unten offene Parabel. Für negative x-Werte ist die Parabel aber streng monoton steigend, daher müssen wir den linken Ast der Parabel aus der Definitionsmenge ausschließen. Somit:
\(h\left( x \right) = - {x^2}{\text{ mit }}{D_h} = {{\Bbb R}^ + }\)
2. Möglichkeit:
Die natürliche Exponentialfunktion, auch e-Funktion, Euler’sche Funktion genannt, ist streng monoton steigend und linksgekrümmt. Dies können wir wie folgt umkehren:
\(h\left( x \right) = - {e^x}{\text{ mit }}{D_h} = {\Bbb R}\)
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(g(x) = {\left( {x - 2} \right)^3}\)
2. Teilaufgabe:
Mögliche Lösungen lauten:
- \(h\left( x \right) = - {x^2}{\text{ mit }}{D_h} = {{\Bbb R}^ + }\)
- \(h\left( x \right) = - {e^x}{\text{ mit }}{D_h} = {\Bbb R}\)