Aufgabe 6041
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist die Funktion \(f:x \mapsto \dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}\) mit maximalem Definitionsbereich D.
1. Teilaufgabe a1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie D an.
2. Teilaufgabe a1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Geben Sie die Nullstelle von f an.
3. Teilaufgabe a1) 1 BE - Bearbeitungszeit: 2:20
Bestimmen Sie \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right)\)
4. Teilaufgabe b) 4 BE - Bearbeitungszeit: 9:20
Ermitteln Sie die x-Koordinate des Punkts, in dem der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Definitionsbereich?
- Zähler: Der Logarithmus naturalis ln(x) ist nur für positive Werte größer Null definiert.
- Nenner: Der Nenner darf nicht Null werden, was bei x=0 der Fall wäre.
\({D_f} = {{\Bbb R}^ + } = \left] {0;\infty } \right]\)
2. Teilaufgabe
Nullstelle?
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \frac{{\ln \left( x \right)}}{{{x^2}}} = 0\,\,\,\,\,\left| { \cdot {x^2}} \right. \cr & \ln \left( x \right) = 0 \cdot {x^2} = 0\,\,\,\,\,\left| e \right. \cr & {e^{\ln \left( x \right)}} = {e^0} \cr & x = 1 \cr} \)
3. Teilaufgabe
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = ?\)
\(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {\dfrac{{\ln \left( x \right)}}{{{x^2}}}} \right) \to \dfrac{{\ln \left( {x \to 0} \right)}}{{{{\left( {x \to 0} \right)}^2}}} \to \dfrac{{ - \infty }}{{ + 0,0000000..1}} \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right) = - \infty \cr} \)
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge
4. Teilaufgabe
x-Koordinate des Punkts, in dem der Graph von f eine waagrechte Tangente hat?
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{\ln \left( x \right)}}{{{x^2}}} = \frac{u}{v} \cr & \cr & {\text{Quotientenregel:}} \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{u' \cdot v - u \cdot v'}}{{{v^2}}} \cr & u = \ln \left( x \right) \cr & u' = \dfrac{1}{x} \cr & v = {x^2} \cr & {v^2} = {x^4} \cr & v' = 2 \cdot x \cr & \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{\dfrac{1}{x} \cdot {x^2} - \ln \left( x \right) \cdot 2x}}{{{x^4}}} = \dfrac{{x - 2x \cdot \ln \left( x \right)}}{{{x^4}}} = \dfrac{{x \cdot \left( {1 - 2 \cdot \ln \left( x \right)} \right)}}{{{x^4}}} = \dfrac{{1 - 2 \cdot \ln \left( x \right)}}{{{x^3}}} \cr & f'\left( x \right) = 0 = \dfrac{{1 - 2 \cdot \ln \left( x \right)}}{{{x^3}}}\,\,\,\,\left| { \cdot {x^3}} \right. \cr & 0 \cdot {x^3} = 0 = 1 - 2 \cdot \ln \left( x \right)\,\,\,\,\,\left| { + 2 \cdot \ln \left( x \right)} \right. \cr & 2 \cdot \ln \left( x \right)\, = 1\,\,\,\,\,\left| {:2} \right. \cr & \ln \left( x \right) = \dfrac{1}{2}\,\,\,\,\,\left| e \right. \cr & {e^{\ln \left( x \right)}} = {e^{\dfrac{1}{2}}} \cr & x = {e^{\dfrac{1}{2}}} \cr} \)
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\({D_f} = {{\Bbb R}^ + } = \left] {0;\infty } \right]\)
2. Teilaufgabe:
\(x = 1\)
3. Teilaufgabe
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0 + } f\left( x \right) = - \infty \)
4. Teilaufgabe
\(x = {e^{\frac{1}{2}}}\)