Aufgabe 6039
Abitur 2016 Gymnasium Bayern - Prüfungsteil A - Analysis
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bayerischen Staatsministerium für Bildung und Kultus, Wissenschaft und Kunst
Gegeben ist eine in \({\Bbb R}\) definierte ganzrationale Funktion f dritten Grades, deren Graph Gf an der Stelle x=1 einen Hochpunkt und an der Stelle x=4 einen Tiefpunkt besitzt.
1. Teilaufgabe a1) 3 BE - Bearbeitungszeit: 7:00
Begründen Sie, dass der Graph der Ableitungsfunktion f‘ von f eine Parabel ist, welche die x-Achse in den Punkten \(\left( {1\left| 0 \right.} \right){\text{ und }}\left( {4\left| 0 \right.} \right)\) schneidet und nach oben geöffnet ist.
2. Teilaufgabe b) 2 BE - Bearbeitungszeit: 4:40
Begründen Sie, dass 2,5 die x-Koordinate des Wendepunkts von Gf ist.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Eine Funktion f dritten Grades hat als Ableitung eine Funktion f‘ die zweiten Grades ist und deren Graph eine Parabel ist. Aus der „NEW-Regel“ wissen wir, dass dort wo die Funktion eine Extremstelle hat (x=1, bzw. x=4) die 1. Ableitung f‘ eine Nullstelle haben muss. Da wir die beiden Nullstellen der Parabel kennen, können wir deren Funktionsgleichung sofort mit Hilfe der Linearfaktoren anschreiben:
\(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right) \cdot \left( {x - 4} \right)\)
Nun müssen wir noch klären, ob die Parabel nach unten oder nach oben offen ist. Dazu setzen wir in die Funktionsgleichung einen beliebigen X-Wert (wir wählen den besonders einfachen Wert x=0) ein und erhalten
\(f'\left( {x = } \right) = \left( {0 - 1} \right) \cdot \left( {0 - 4} \right) = + 4\)
Dieser Wert ist positiv und liegt am Ast links von der 1. NST. Daher muss die Parabel nach oben offen sein.
Nachfolgende Illustration veranschaulicht die Zusammenhänge:
2. Teilaufgabe
In der arithmetischen Mitte zwischen den beiden Nullstellen (x=1 bzw. x=4) muss der Tiefpunkt liegen:
\({x_{TP}} = \dfrac{{1 + 4}}{2} = 2,5\)
Aus der „NEW-Regel“ wissen wir, dass dort wo f‘ einen Extremwert (Tiefpunkt) hat, die Funktion f einen Wendepunkt haben muss.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
Aus der „NEW-Regel“ wissen wir, dass dort wo f‘ einen Extremwert (Tiefpunkt) hat, die Funktion f einen Wendepunkt haben muss.