Aufgabe 96
Parallele Vektoren
Überprüfe, ob die beiden Vektoren parallel sind:
\(\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b ?\)
\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ 3 \cr 4 \cr 5 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\matrix{ { - 6} \cr { - 8} \cr { - 15} \cr } } \right);\)
Lösungsweg
Die beiden Vektoren sind dann parallel, wenn es eine reelle Zahl - nennen wir sie Lambda - gib, mit der die Koordinaten des einen Vektors auf die Koordinaten des anderen Vektors durch Multiplikation umgerechnet werden können.
\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ 3 \cr 4 \cr 5 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow b = \left( {\matrix{ { - 6} \cr { - 8} \cr { - 15} \cr } } \right);\)
Gemäß der Formel für die "Parallelität von Vektoren" gilt:
\(\overrightarrow a \left\| {\overrightarrow b } \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow b = \lambda .\overrightarrow a \Leftrightarrow \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {\lambda .{a_x}} \cr {\lambda .{a_y}} \cr } } \right);\)
\(\eqalign{ & \left( {\matrix{ 3 \cr 4 \cr 5 \cr } } \right) \cdot \lambda = \left( {\matrix{ { - 6} \cr { - 8} \cr { - 15} \cr } } \right) \cr & \cr & \left( {\matrix{ {3 \cdot \lambda } \cr {4 \cdot \lambda } \cr {5 \cdot \lambda } \cr } } \right) = \left( {\matrix{ { - 6} \cr { - 8} \cr { - 15} \cr } } \right) \Rightarrow \cr & \cr & x:3 \cdot \lambda = - 6 \Rightarrow \lambda = - 2; \cr & y:4 \cdot \lambda = - 8 \Rightarrow \lambda = - 2; \cr & z:5 \cdot \lambda = - 15 \Rightarrow \lambda = - 3; \cr & \overrightarrow a \nparallel \overrightarrow b \cr}\)
→ Es gibt also kein einheitliches λ, mit dem man die Koordinaten von dem einem Vektor in die des anderen Vektors umrechnen kann, daher sind die beiden Vektoren nicht parallel.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(a \nparallel \overrightarrow b\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.