Aufgabe 98
Halbierungspunkt eines Vektors
Ermittle den Mittelpunkt \({M_{\overrightarrow {AB} }}\) der Strecke \(\overrightarrow {AB}\), wenn
\(\overrightarrow A = \left( {\matrix{ 3 \cr 4 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow B = \left( {\matrix{ { - 7} \cr 6 \cr } } \right);\)
Lösungsweg
Um den Halbierungspunkt eines Vektors zu erhalten, addieren wir jeweils die beiden x, y bzw. z Koordinaten vom Anfangs- bzw. Endpunkt und halbieren diesen Wert.
\(\overrightarrow A = \left( {\matrix{ 3 \cr 4 \cr } } \right);\,\,\,\,\,\overrightarrow B = \left( {\matrix{ { - 7} \cr 6 \cr } } \right);\)
Gemäß der Formel für den "Mittelpunkt bzw. Halbierungspunkt eines Vektors" gilt:
\({H_{AB}} = {M_{\overrightarrow {AB} }} =\dfrac{1}{2}(A + B) = A + {1 \over 2}\overrightarrow {AB} = \dfrac{1}{2}\left( {\matrix{ {{A_x} + {B_x}} \cr {{A_y} + {B_y}} \cr } } \right);\)
\(\eqalign{ & {M_{\overrightarrow {AB} }} = {1 \over 2}\left[ {\left( {\matrix{ 3 \cr 4 \cr } } \right) + \left( {\matrix{ { - 7} \cr 6 \cr } } \right)} \right] = \cr & = {1 \over 2}\left( {\matrix{ {3 + ( - 7)} \cr {4 + 6} \cr } } \right) = \cr & = {1 \over 2}\left( {\matrix{ { - 4} \cr {10} \cr } } \right) \cr & {M_{\overrightarrow {AB} }} = \left( {\matrix{ { - 2} \cr 5 \cr } } \right) \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\({M_{\overrightarrow {AB} }} = \left( {\matrix{ { - 2} \cr 5 \cr } } \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.