Aufgabe 101
Halbierungspunkt
Gegeben ist ein Parallelogramm mit 2 Eckpunkten A, D sowie dem Schnittpunkt M der beiden Diagonalen:
\(A\left( {\matrix{ { - 2} \cr { - 3} \cr } } \right);\,\,\,\,\,D\left( {\matrix{ { - 2} \cr 4 \cr } } \right);\,\,\,\,\,M\left( {\matrix{ 1 \cr 2 \cr } } \right)\)
Berechne die Koordinaten der fehlenden beiden Eckpunkte B und C.
Lösungsweg
M liegt auf der halben Strecke zwischen A und C. Wir kennen M und A und können uns daher C ausrechnen.
Gemäß der Formel für die Ermittlung vom "Mittelpunkt bzw. Halbierungspunkt eines Vektors" gilt:
\({M_{\overrightarrow {AC} }} = {1 \over 2}(A + C) = {1 \over 2}\left( {\matrix{ {{A_x} + {C_x}} \cr {{A_y} + {C_y}} \cr } } \right)\)
Den Mittelpunkt der Strecke von A nach B erhält man, indem man von A aus den halben Vektor b aufträgt.
M liegt auf der halben Strecke zwischen A und C. Wir kennen M und A und rechnen uns daher C aus:
\(\eqalign{ & {M_{\overrightarrow {AC} }} = {1 \over 2}\left[ {A + C} \right] = \cr & = \left( {\matrix{ 1 \cr 2 \cr } } \right) = {1 \over 2} \cdot \left[ {\left( {\matrix{ { - 2} \cr { - 3} \cr } } \right) + \left( {\matrix{ {{C_x}} \cr {{C_y}} \cr } } \right)} \right] \cr & \cr & x:\,\,1 = {1 \over 2} \cdot \left[ { - 2 + {C_x}} \right] \Rightarrow 2 = - 2 + {C_x} \Rightarrow {C_x} = 4; \cr & y:\,\,2 = {1 \over 2} \cdot \left[ { - 3 + {C_y}} \right] \Rightarrow 4 = - 3 + {C_y} \Rightarrow {C_y} = 7; \cr & \cr & C\left( {\matrix{ 4 \cr 7 \cr } } \right); \cr}\)
Gemäß der Formel für die Ermittlung vom "Mittelpunkt bzw. Halbierungspunkt eines Vektors" gilt:
\({M_{\overrightarrow {BD} }} = {1 \over 2}(B + D) = {1 \over 2}\left( {\matrix{ {{B_x} + {D_x}} \cr {{B_y} + {D_y}} \cr } } \right)\)
M liegt auf der halben Strecke zwischen A und C. Wir kennen M und A und rechnen uns daher C aus:
\(\eqalign{ & {M_{\overrightarrow {BD} }} = {1 \over 2}\left[ {B + D} \right] = \cr & = \left( {\matrix{ 1 \cr 2 \cr } } \right) = {1 \over 2} \cdot \left[ {\left( {\matrix{ {{B_x}} \cr {{B_y}} \cr } } \right) + \left( {\matrix{ { - 2} \cr 4 \cr } } \right)} \right] \cr & \cr & x:\,\,1 = {1 \over 2}\left[ {{B_x} + \left( { - 2} \right)} \right] \Rightarrow 2 = {B_x} - 2 \Rightarrow {B_x} = 4; \cr & y:\,\,2 = {1 \over 2}\left[ {{B_y} + 4} \right] \Rightarrow 4 = {B_y} + 4 \Rightarrow {B_y} = 0; \cr & \cr & B\left( {\matrix{ 4 \cr 0 \cr } } \right); \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(B\left( {\matrix{ 4 \cr 0 \cr } } \right);\,\,\,\,\,C\left( {\matrix{ 4 \cr 7 \cr } } \right);\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung für beide Punkte B und C mit der korrekten Lösung übereinstimmt.