Stefan-Boltzmann'sches Strahlungsgesetz
Jeder Körper, dessen Temperatur T über dem absoluten Nullpunkt liegt, gibt Wärme an seine Umgebung ab. Das Stefan-Bolzmann'sche Strahlungsgesetz besagt, dass die elektromagnetische Strahlungsleistung (Intensität der Temperaturstrahlung) eines schwarzen Körpers proportional zur Oberfläche A und der vierten Potenz der absoluten Temperatur des Körpers ist. Die Stefan-Bolzmann-Konstante ist nach Josef Stefan und Ludwig Bolzmann benannt, und darf nicht mit der Bolzmann Konstante verwechselt werden.
\(P = \sigma \cdot A \cdot {T^4}\)
mit
\(M = \dfrac{P}{A}\)
\(M = \sigma \cdot {T^4}\)
\(\sigma = \dfrac{{2 \cdot \pi \cdot {k_B}^4}}{{15 \cdot h \cdot {c^2}}}\)
\(P\) | elektromagnetische Strahlungsleistung |
\(A\) | Fläche eines schwarzen Strahlers |
\(M\) | Wärmestrahlungsfluss |
\(\sigma = 5,67051 \cdot {10^{ - 8}}\dfrac{W}{{{m^2} \cdot {K^4}}}\) | Stefan Boltzmann-Konstante (exakt) |
\({k_B} = 1,380649 \cdot {10^{ - 23}}\dfrac{J}{K}\) | Bolzmann-Konstante (exakt) |
\(T\) | Absolute Temperatur des Körpers |
\(h = 6,62607015 \cdot {10^{ - 34}}J \cdot s\) | plancksches Wirkungsquantum (exakt) |
\(c = 299792458\dfrac{m}{s}\) | Lichtgeschwindigkeit (exakt) |
Beispiel: Berechnung der Temperatur auf der Sonnenoberfläche bzw. der Strahlungsleistung der Sonne
Der Sonnenradius beträgt \(r = 6,963 \cdot {10^8}m\). Der mittlere Abstand zwischen Sonne und Erde beträgt \(R = 1,496 \cdot {10^{11}}m\). Die Solarkonstante, das ist die extraterrestrische Bestrahlungsstärke beträgt \(S = 1361\dfrac{W}{m}\).
Mit diesen Werten kann man die (Effektiv-)Temperatur der Sonnenoberfläche ausrechnen, unter der Annahme dass sich die Sonne sich wie ein Schwarzer Körper verhält:
\(\begin{array}{l} P = \sigma \cdot A \cdot {T^4}\\ T = \sqrt[4]{{\dfrac{P}{{\sigma \cdot A}}}}\\ {\rm{mit}}\\ P = S \cdot 4 \cdot \pi \cdot {R^2}\\ A = O = 4 \cdot \pi \cdot {r^2}\\ {\rm{somit}}\\ T = \sqrt[4]{{\dfrac{{S \cdot 4 \cdot \pi \cdot {R^2}}}{{\sigma \cdot 4 \cdot \pi \cdot {r^2}}}}} = \sqrt[4]{{\dfrac{{S \cdot {R^2}}}{{\sigma \cdot {r^2}}}}} = \sqrt[4]{{\dfrac{{1361 \cdot \left( {1,496 \cdot {{10}^{11}}} \right)}}{{5,67051 \cdot {{10}^{ - 8}} \cdot {{\left( {6,963 \cdot {{10}^8}} \right)}^2}}}}}K = 5\,771K \end{array}\)
Mit diesen Werten kann man auch die Leuchtkraft bzw. die elektromagnetische Strahlungsleistung P der Sonne berechnen:
\(\begin{array}{l} P = A \cdot \sigma \cdot {T^4} = A \cdot S = 4 \cdot \pi \cdot {R^2} \cdot S = \\ = 4*\pi *{\left( {1,496*{{10}^{11}}} \right)^2}*1361 = 3,827 \cdot {10^{26}}W \end{array}\)