Aufgabe 206
Extremwertaufgabe
Eine Brauerei will 330ml Bier in eine Dose abfüllen. Welche Abmessungen muss die zylinderförmige Dose haben, damit möglichst wenig Aluminium verbraucht wird?
Lösungsweg
Es handelt sich um eine Extremwertaufgabe vom Typ: Minimale Oberfläche eines Zylinders, bei gegebenem Volumen
Zielfunktion anschreiben – Sie hat 2 unabhängige Variablen:
\(O\left( {r,h} \right) = 2\pi rh + 2\pi {r^2}\)
O soll ein Minimum werden!
Nun schreiben wir die Nebenbedingung(en) an:
\(\begin{array}{l} V = \pi {r^2}h\\ 330 = V = \pi {r^2}h \Rightarrow h = \dfrac{{330}}{{\pi {r^2}}} \end{array}\)
Zielfunktion erneut anschreiben – Sie hat nun nur mehr 1 unabhängige Variable:
\(O\left( r \right) = 2\pi r\dfrac{{330}}{{\pi {r^2}}} + 2\pi {r^2} = \dfrac{{660}}{r} + 2\pi {r^2}\)
Durch Differenzieren können wir den Extremwert bestimmen:
\(\begin{array}{l} O'\left( r \right) = \dfrac{d}{{dr}}\left( {\dfrac{{660}}{r} + 2\pi {r^2}} \right) = \dfrac{d}{{dr}}\left( {660 \cdot {r^{ - 1}} + 2\pi {r^2}} \right)\\ = - 1 \cdot 660 \cdot {r^{ - 2}} + 2 \cdot 2 \cdot \pi \cdot r = 4\pi r - \dfrac{{660}}{{{r^2}}} \end{array}\)
Nullstelle bestimmen:
\(\begin{array}{l} O'\left( r \right) = 0 \Rightarrow 4\pi r - \dfrac{{660}}{{{r^2}}} = 0\\ 4\pi r = \dfrac{{660}}{{{r^2}}}\,\,\,\,\,\left| {\,\,\, \cdot {r^2}} \right.\\ {r^3} = \dfrac{{660}}{{4\pi }} \Rightarrow r = \sqrt[3]{{\dfrac{{165}}{\pi }}} = 3,745 \end{array}\)
Klären ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt:
\(\begin{array}{l} O' = 4\pi r - \dfrac{{660}}{{{r^2}}} = 4\pi r - 660 \cdot {r^{ - 2}}\\ {\rm{O'' = 4}}\pi {\rm{ + 1320}}{{\rm{r}}^{ - 3}}\\ O''\left( {3,745} \right) = 4\pi + \dfrac{{1320}}{{{{3,745}^3}}} > 0 \end{array}\)
O‘‘ > 0 daher liegt ein Minimum vor
\(h = \dfrac{{330}}{{\pi {r^2}}} = \dfrac{{330}}{{\pi \cdot {{3,745}^2}}} = 7,490\)
→ Die Brauerei benötigt Dosen mit r=3,745 cm und h=7,490 cm, um den Alu-Bedarf zu minimieren.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{l} r = 3,745cm\\ h = 7,490cm \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.