Aufgabe 196
Intervallweise differenzierbare Betragsfunktion
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \left| x \right|;\)
1. Teilaufgabe: Berechne die Stelle, an der die Funktion eine Knickstelle hat, und aus diesem Grund dort nicht differenzierbar ist
2. Teilaufgabe: Ersetzte die Funktionsgleichung von f(x) durch abschnittsweise definierte Teilfunktionen ohne Betragszeichen
3. Teilaufgabe: Bestimme die 1. Ableitung f‘(x)
4. Teilaufgabe: Welche Steigung hat die Funktion f(x) links bzw. rechts von der Knickstelle
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Berechne die Stelle, an der die Funktion eine Knickstelle hat, und aus diesem Grund dort nicht differenzierbar ist: \(f(x) = \left| x \right|;\)
x=-2 | \(f(x) = \left| { - 2} \right| = 2;\) |
x=-1 | \(f(x) = \left| { - 1} \right| = 1;\) |
x=0 | \(f(x) = \left| 0 \right| = 0;\) |
x=+1 | \(f(x) = \left| { + 1} \right| = 1;\) |
x=+2 | \(f(x) = \left| { + 2} \right| = 2;\) |
- Für alle x<0 ist die Steigung negativ;
- Für alle x>0 ist die Steigung positiv;
- An der Stelle x=0 besteht eine Knickstelle, denn je nachdem von welcher Seite man sich der Knickstelle annähert, erhält man verschiedene Steigungen der Tangente in f(0).
2. Teilaufgabe:
Ersetze die Funktionsgleichung von f(x) durch abschnittsweise definierte Teilfunktionen ohne Betragszeichen.
Wir führen daher 2 abschnittweise definierte Teilfunktionen ohne Betragszeichen ein:
\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x,}&{x < 0}\\ x&{x \ge 0} \end{array}} \right.\)
3. Teilaufgabe:
Bestimme die 1. Ableitung f‘(x)
\(f'\left( x \right) = \dfrac{d}{{dx}}f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{x < 0}\\ 1&{x > 0} \end{array}} \right.\)
4. Teilaufgabe:
Welche Steigung hat die Funktion f(x) links bzw. rechts von der Knickstelle
Linksseitig: f‘(0) = -1
Rechtsseitig: f‘(0) = 1
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Für die 1. Teilaufgabe: An der Stelle x=0 besteht eine Knickstelle.
- Für die 2. Teilaufgabe: \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - x,}&{x < 0}\\ x&{x \ge 0} \end{array}} \right.\)
- Für die 3. Teilaufgabe: \(f'\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{x < 0}\\ 1&{x > 0} \end{array}} \right.\)
- Für die 4. Teilaufgabe: Linksseitig f‘(0) = -1; Rechtsseitig f‘(0) = 1
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.