Aufgabe 135
Differenzieren von Wurzeln
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{1}{{\root 3 \of {{x^2}} }}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir formen den Wurzelausdruck in eine Potenzfunktion um
\(f(x) = \dfrac{1}{{\root 3 \of {{x^2}} }} = \dfrac{1}{{{x^{\dfrac{2}{3}}}}} = {x^{ - \dfrac{2}{3}}}\)
Gemäß der Formel für das Potenzieren von Potenzen gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
\(\eqalign{ & f(x) = \dfrac{1}{{\root 3 \of {{x^2}} }} = \dfrac{1}{{{x^{\dfrac{2}{3}}}}} = {x^{ - \dfrac{2}{3}}}; \cr & f'\left( x \right) = - \dfrac{2}{3} \cdot {x^{ - \dfrac{5}{3}}} = - \dfrac{2}{{3 \cdot \root 3 \of {{x^5}} }} = - \dfrac{2}{{3x \cdot \root 3 \of {{x^2}} }} \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = - \dfrac{2}{{3x \cdot \root 3 \of {{x^2}} }}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.