Aufgabe 203
Differenzieren von Potenzen
Gegeben sei die Funktion: \(f\left( x \right) = {\left( {x + \sqrt {2x} } \right)^2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
- 1. Teilaufgabe: Löse die Klammer auf und differenziere die verbleibenden Summanden
- 2. Teilaufgabe: Löse die Klammer nicht auf und wende die Kettenregel an.
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
\(\begin{array}{l} f\left( x \right) = {\left( {x + \sqrt {2x} } \right)^2} = \\ = {x^2} + 2x\sqrt {2x} + 2x = \\ = {x^2} + \sqrt {4{x^2} \cdot 2x} + 2x\\ = {x^2} + \sqrt {8{x^3}} + 2x\\ = {x^2} + {\left( {8{x^3}} \right)^{\dfrac{1}{2}}} + 2x \end{array}\)
\(\begin{array}{l} f'\left( x \right) = 2x + \dfrac{1}{2}{\left( {8{x^3}} \right)^{ - \dfrac{1}{2}}} \cdot \left( {3.8{x^2}} \right) + 2 = \\ = 2x + \dfrac{{24{x^2}}}{{2\sqrt {8{x^3}} }} + 2 = \\ = 2x + \dfrac{{12{x^2}}}{{2x\sqrt {2x} }} + 2 = \\ = 2x + \dfrac{{6x}}{{\sqrt {2x} }} + 2 = \\ = 2x + \dfrac{{3.2x}}{{\sqrt {2x} }} + 2 = \\ = 2x + \dfrac{{3 \cdot \sqrt {2x} \cdot \sqrt {2x} }}{{\sqrt {2x} }} + 2 = \\ = 2x + 3 \cdot \sqrt {2x} + 2 \end{array}\)
Wir haben die Potenzregel anwendet und an die innere Ableitung der Klammer gedacht!
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Potenzen gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr} \)
2. Teilaufgabe:
\(f\left( x \right) = {\left( {x + \sqrt {2x} } \right)^2}\)
\(\eqalign{ & 2 \cdot \left( {x + \sqrt {2x} } \right) \cdot \left( {1 + \dfrac{1}{{2\sqrt {2x} }} \cdot 2} \right) = \cr & = \left( {2x + 2\sqrt {2x} } \right) \cdot \left( {1 + \dfrac{2}{{2\sqrt {2x} }}} \right) = \cr & = 2x + \dfrac{{4x}}{{2\sqrt {2x} }} + 2\sqrt {2x} + \dfrac{{4\sqrt {2x} }}{{2\sqrt {2x} }} = \cr & = 2x + \dfrac{{2x}}{{\sqrt {2x} }} + 2\sqrt {2x} + 2 = \cr & = 2x + \sqrt {2x} + 2\sqrt {2x} + 2 = \cr & = 2x + 3 \cdot \sqrt {2x} + 2 \cr} \)
Wir haben die Potenzregel anwendet und an die innere Ableitung der Klammer sowie an die innere Ableitung des Ausdrucks unter der Wurzel gedacht!
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet in beiden Fällen:
\(f'\left( x \right) = 2x + 3 \cdot \sqrt {2x} - 2\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.