Aufgabe 183
Differenzieren von Brüchen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{{x^4}}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Winkelfunktionen und von Brüchen an.
\(f(x) = \dfrac{{\sin \left( x \right)}}{{{x^4}}};\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{{\cos \left( x \right) \cdot {x^4} - \sin \left( x \right) \cdot 4{x^3}}}{{{{\left( {{x^4}} \right)}^2}}} = \cr & = \dfrac{{{x^3}\left[ {x \cdot \cos \left( x \right) - 4\sin \left( x \right)} \right]}}{{{x^8}}} = \cr & = \dfrac{{x \cdot \cos \left( x \right) - 4\sin \left( x \right)}}{{{x^5}}}; \cr}\)
Wir haben die Differentationsregeln für Winkelfunktionen sowie die Quotientenregel angewendet.
Gemäß der Formel für das Differenzieren von Quotienten (Brüchen) gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}};\, \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) - u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}} \cr}\)
mit
\(u\left( x \right) = \sin x\) | \(u'\left( x \right) = \cos x\) |
\(v\left( x \right) = {x^4}\) | \(v'\left( x \right) = 4{x^3}\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{x \cdot \cos \left( x \right) - 4\sin \left( x \right)}}{{{x^5}}};\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.