Aufgabe 175
Differenzieren von Brüchen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \dfrac{{\sin x}}{{4{x^3}}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir setzen an dieser Stelle die Ableitungsregel für die Sinusfunktion als bekannt voraus und wenden uns bei der Erklärung nur mehr der Quotientenregel zu.
\(f(x) = \dfrac{{\sin x}}{{4{x^3}}}\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{{\cos \left( x \right) \cdot 4{x^3} - \sin \left( x \right) \cdot 12{x^2}}}{{{{\left( {4{x^3}} \right)}^2}}} = \cr & = \dfrac{{4{x^2} \cdot \left[ {x \cdot \cos \left( x \right) - 3 \cdot \sin \left( x \right)} \right]}}{{{4^2}{x^6}}} = \cr & = \dfrac{{x \cdot \cos \left( x \right) - 3 \cdot \sin \left( x \right)}}{{4{x^4}}} \cr}\)
Wir haben die Regel für das Differenzieren von Quotienten (Brüchen) angewendet:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}};\, \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) - u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}} \cr}\)
mit:
\(u\left( x \right) = \sin x\) | \(u'\left( x \right) = \cos x\) |
\(v\left( x \right) = 4{x^3}\) | \(v'\left( x \right) = 3 \cdot 4{x^2} = 12{x^2}\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{x \cdot \cos \left( x \right) - 3 \cdot \sin \left( x \right)}}{{4{x^4}}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.