Aufgabe 152
Reziprokenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{1}{{2{x^4}}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
1. Teilaufgabe: Wende die Reziprokenregel an
2. Teilaufgabe: Wende die Regeln zum Differenzieren von Potenzen an
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir wenden die Reziprokenregel an
\(f(x) = \dfrac{1}{{2{x^4}}};\)
\(f'\left( x \right) = - \dfrac{{2 \cdot 4{x^3}}}{{{{\left( {2{x^4}} \right)}^2}}} = - \dfrac{{8{x^3}}}{{4{x^8}}} = - \dfrac{2}{{{x^5}}};\)
Wir haben die Reziprokenregel (=vereinfachte Quotientenregel) angewendet:
Gemäß der Reziprokenregel gilt:
\(\eqalign{ & y = \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} \cr & y' = {\left[ {\dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} \right]^\prime } = - \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{{f^2}\left( x \right)}} \cr}\)
2. Teilaufgabe:
Wir wenden die Regeln zum Differenzieren von Potenzen an
\(f(x) = \dfrac{1}{{2{x^4}}} = \dfrac{1}{2}{x^{ - 4}};\)
\(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{2} \cdot \left( { - 4{x^{ - 5}}} \right) = - \dfrac{4}{2}{x^{ - 5}} = - \dfrac{2}{{{x^5}}};\)
Gemäß der Regel zum Differenzieren von Potenzen gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = {x^n} \cr & f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Für die 1. Teilaufgabe: \(f'\left( x \right) = - \dfrac{2}{{{x^5}}}\)
- Für die 2. Teilaufgabe: \(f'\left( x \right) = - \dfrac{2}{{{x^5}}}\)
Lösungsschlüssel:
Für jede der 2 Teilaufgaben ist dann ein Punkt zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der jeweils korrekten Lösung der Teilaufgabe übereinstimmt