Aufgabe 150
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = {\left( {2x + 2} \right)^n}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir setzen an dieser Stelle die Potenzregel als bekannt voraus und wenden uns bei der Erklärung nur mehr der Kettenregel zu. Achtung: Bei diesem Beispiel müssen wir die äußere Ableitung und die innere Ableitung bilden.... Man kann die abgeleitete Funktion sofort hinschreiben....
\(f(x) = {\left( {2x + 2} \right)^n}\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = n{\left( {2x + 2} \right)^{n - 1}} \cdot 2 = \cr & = 2n{\left( {2x + 2} \right)^{n - 1}} \cr}\)
Wir haben die Kettenregel angewendet:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right); \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr}\)
mit:
Substitution: | \(u = \left( {2x + 2} \right)\) |
Äußere Funktion: | \(v\left( u \right) = {u^n}\) |
Äußere Ableitung: | \(v'\left( u \right) = n \cdot {u^{n - 1}}\) |
Innere Funktion: | \(u\left( x \right) = 2x + 2\) |
Innere Ableitung: | \(u'\left( x \right) = 2\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = 2n \cdot {\left( {2x + 2} \right)^{n - 1}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.