Aufgabe 139
Differenzieren von Polynomen
Gegeben sei die Funktion \(f(x) = \dfrac{1}{{{x^2} + 6x + 7}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Quotienten (Brüche) an.
\(f(x) = \dfrac{1}{{{x^2} + 6x + 7}};\)
\(\eqalign{ & f(x) = \dfrac{1}{{{x^2} + 6x + 7}}; \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 1 \cdot \left( {2x + 6} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 6x + 7} \right)}^2}}} = - 2\dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {{x^2} + 6x + 7} \right)}^2}}}; \cr} \)
Wir haben die Quotientenregel für das Differenzieren von Brüchen angewendet
Gemäß der Quotientenregel beim Differenzieren gilt:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}}; \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) - u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}} \cr}\)
mit:
\(u\left( x \right) = 1\) | \(u'\left( x \right) = 0\) |
\(v\left( x \right) = \left( {{x^2} + 6x + 7} \right)\) | \(v'\left( x \right) = 2x + 6\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = - 2\dfrac{{x + 3}}{{{{\left( {{x^2} + 6x + 7} \right)}^2}}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.