Aufgabe 1635
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 22. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Vergleich zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen
In den nachstehenden Diagrammen sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen zweier Zufallsvariablen X und Y dargestellt. Die Erwartungswerte der Zufallsvariablen werden mit E(X) und E(Y), die Standardabweichungen mit σ (X) und σ (Y) bezeichnet.
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Aussagen an!
- Aussage 1: \(E\left( X \right) = E\left( Y \right)\)
- Aussage 2: \(\sigma \left( X \right) > \sigma \left( Y \right)\)
- Aussage 3: \(P\left( {X \leqslant 3} \right) < P\left( {Y \leqslant 3} \right)\)
- Aussage 4: \(P\left( {3 \leqslant X \leqslant 7} \right) = P\left( {3 \leqslant Y \leqslant 7} \right)\)
- Aussage 5: \(P\left( {X \leqslant 5} \right) = 0,3\)
Lösungsweg
- Aussage 1: Richtig, weil man auf den ersten Blick sieht, dass beide Verteilungen symmetrisch um den Wert k=5 liegen, womit für beide Wahrscheinlichkeitsverteilungen E(X=Y=5) der Erwartungswert ist
- \(E\left( X \right) = 2 \cdot 0,05 + 3 \cdot 0,1 + 4 \cdot 0,2 + 5 \cdot 0,3 + 6 \cdot 0,2 + 7 \cdot 0,1 + 8 \cdot 0,05 = 5\)
- \(E(Y) = 2 \cdot 0,1 + 3 \cdot 0,2 + 4 \cdot 0,15 + 5 \cdot 0,1 + 6 \cdot 0,15 + 7 \cdot 0,2 + 8 \cdot 0,1 = 5\)
-
Aussage 2: Falsch, weil eine Untersuchung der Standardabweichung, also wie weit die einzelnen Wahrscheinlichkeiten vom Erwartungswert entfernt liegen, wie folgt ergibt:
- Bei der Zufallsvariablen X beträgt die Wahrscheinlichkeit beim Erwartungswert P(X=5)=0,3, somit liegen "nur" 70% der Werte links und rechts vom Erwartungswert und nehmen mit zunehmender Entfernung stark ab
- Bei der Zufallsvariablen Y beträgt die Wahrscheinlichkeit beim Erwartungswert P(X=5)=0,1, somit liegen "satte" 90% der Werte links und rechts vom Erwartungswert und diese haben weit weg von k=5 nämlich bei k=3 und bei k=7 sogar Höchstwerte mit P(Y=3=7)=0,2 und sind auch an den Stellen k=2 bzw. k=8 doppelt so groß wie bei der Zufallsvariablen X
- ⇒ Die Zufallsvariable X streut weniger stark als die Zufallsvariable Y, somit: \(\sigma \left( X \right) < \sigma \left( Y \right)\)
-
Aussage 3: Richtig, weil sich die jeweilige Gesamtwahrscheinlichkeit aus der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten errechnet:
- \(P\left( {X \le 3} \right) = P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 2} \right) = 0,1 + 0,05 = 0,15 \buildrel \wedge \over = 15\% \)
- \(P\left( {Y \le 3} \right) = P\left( {Y = 3} \right) + P\left( {Y = 2} \right) = 0,2 + 0,1 = 0,3 \buildrel \wedge \over = 30\% \)
- ⇒ \(P\left( {X \le 3} \right) = 0,15 < P\left( {Y \le 3} \right) = 0,3\) wzbw
-
Aussage 4: Falsch, weil sich die jeweilige Gesamtwahrscheinlichkeit aus der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten errechnet:
- \(P\left( {3 \le X \le 7} \right) = 1 - (P(X = 2) + P\left( {X = 8} \right) = 1 - \left( {0,05 + 0,05} \right) = 1 - 0,1 = 0,9\)
- \(P\left( {3 \le Y \le 7} \right) = 1 - (P(Y = 2) + P\left( {Y = 8} \right) = 1 - \left( {0,1 + 0,1} \right) = 0,8\)
- ⇒ \(P\left( {3 \le X \le 7} \right) = 0,9 \ne P\left( {3 \le Y \le 7} \right) = 0,8\)
-
Aussage 5: Falsch, weil \(P\left( {X \le 5} \right) = P\left( {X = 5} \right) + P\left( {X = 4} \right) + P\left( {X = 3} \right) + P\left( {X = 2} \right) = 0,3 + 0,2 + 0,1 + 0,05 = 0,55 \ne 0,3\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Aussagen angekreuzt sind.