Aufgabe 1292
AHS - 1_292 & Lehrstoff: WS 3.2
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Flaschensortieranlage
Auf einer Sortieranlage werden 500 Flaschen von einem Scanner untersucht – es wird die Art des Kunststoffes ermittelt. p % der Flaschen werden richtig erkannt und in die bereitgestellten Behälter einsortiert. Die Werte der binomialverteilten Zufallsvariablen X beschreiben die Anzahl k der falschen Entscheidungen beim vorgegebenen Stichprobenumfang.
k | P(X=k) |
10 | 0,0003 |
11 | 0,0007 |
12 | 0,0015 |
13 | 0,0029 |
14 | 0,0053 |
15 | 0,009 |
16 | 0,0144 |
17 | 0,0216 |
18 | 0,0305 |
19 | 0,0408 |
20 | 0,0516 |
21 | 0,0621 |
22 | 0,0712 |
23 | 0,0778 |
24 | 0,0814 |
25 | 0,0816 |
26 | 0,0785 |
27 | 0,0725 |
28 | 0,0644 |
29 | 0,0552 |
30 | 0,0456 |
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie mithilfe der gegebenen Tabelle die Wahrscheinlichkeit \(P\left( {22 < X \leqslant 27} \right)\)und markieren Sie diese in der Grafik.
Lösungsweg
Die Gesamtwarscheinlichkeit ist die Summe der einzelnen Teilwahrscheinlichkeiten. Wir müssen speziell auf das "größer" und "kleiner gleich" Zeichen achten.
\(\begin{array}{l} P\left( {22 < X \le 27} \right) = P\left( {X = 23} \right) + P\left( {X = 24} \right) + P\left( {X = 25} \right) + P\left( {X = 26} \right) + P\left( {X = 27} \right)\\ = 0,0778 + 0,0814 + 0,0816 + 0,0785 + 0,0725 = 0,3918 \buildrel \wedge \over = 39,18\% \end{array}\)
Die entsprechenden k=23, 24, 25, 26 und 27 sind in der Grafik zu markieren.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(P\left( {22 < X \le 27} \right) = 0,3918 \buildrel \wedge \over = 39,18\% \)
Die Illustration sieht wie folgt aus:
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die Wahrscheinlichkeit richtig berechnet und in der Grafik gekennzeichnet ist.