Aufgabe 1720
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2019 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Funktion mit einer besonderen Eigenschaft
Für eine nicht konstante Funktion \(f:{\Bbb R} \to {\Bbb R}{\text{ gilt für alle x}} \in {\Bbb R}\) die Beziehung \(f\left( {x + 1} \right) = 3 \cdot f\left( x \right)\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie eine Gleichung einer solchen Funktion f an.
f(x)= ___
[0 / 1 Punkt]
Lösungsweg
Die gegebene Gleichung \(f\left( {x + 1} \right) = 3 \cdot f\left( x \right)\) bedeutet in Worten, dass wenn man das Argument um 1 erhöht sich der Funktionswert verdreifacht. Exponentialfunktionen vom Typ \(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ mit a}} \in {{\Bbb R}^ + }\) erfüllen diese Bedingung. Für die Basis a bietet sich a=3 an. Somit würde die Funktion \(f\left( x \right) = {3^x}\) lauten.
Machen wir die Probe:
x=0 | \(f\left( {0 + 1} \right) = f\left( 1 \right) = {3^1} = 3\) | \(3 \cdot f\left( x \right) = 3 \cdot {3^x} = 3 \cdot {3^0} = 3 \cdot 1 = 3\) |
x=1 | \(f\left( {1 + 1} \right) = f\left( 2 \right) = {3^2} = 9\) | \(3 \cdot f\left( x \right) = 3 \cdot {3^x} = 3 \cdot {3^1} = 3 \cdot 3 = 9\) |
x=2 | \(f\left( {2 + 1} \right) = f\left( 3 \right) = {3^3} = 27\) | \(3 \cdot f\left( x \right) = 3 \cdot {3^2} = 3 \cdot {3^2} = 3 \cdot 9 = 27\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f\left( x \right) = {3^x}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für eine richtige Gleichung.
Jede Gleichung einer Funktion, die sich auf \(f\left( x \right) = a \cdot {3^x}{\text{ mit }}a \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) zurückführen lässt, ist als richtig zu werten.