Aufgabe 1506
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 12. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Periodische Funktion
Gegeben ist die periodische Funktion f mit der Funktionsgleichung \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie die kleinste Zahl a > 0 (Maßzahl für den Winkel in Radiant) so an, dass für alle \(x \in {\Bbb R}\) die Gleichung \(f\left( {x + a} \right) = f\left( x \right)\) gilt!
Lösungsweg
Wir erinnern uns an die Definitionen von
- Periodendauer: Eine Funktion heißt periodisch mit der Periodendauer T, wenn die Funktion bei Verschiebung um T in sich selbst übergeführt wird, d.h. deckungsgleich ist.
- Bogenmaß: Unter dem Bogenmaß (ausgedrückt in Vielfachen oder Teilen von \(\pi\)) versteht man das Verhältnis von Bogenlänge b zum Radius r eines Kreissektors.
Eine Schwingung umfasst eine positive und einer negative Halbwelle und dauert eine Periodendauer T lang. Bei der Winkelfunktion \(f\left( x \right) = \sin \left( x \right)\) entspricht diese Dauer 360 bzw. \(2 \cdot \pi \,\,rad\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(a = 2 \cdot \pi \,\,rad\)
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall: [6,2 rad; 6,3 rad]
Ein Punkt für die richtige Losung.