Aufgabe 1340
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 10. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Wachstum
Die Funktion f beschreibt einen exponentiellen Wachstumsprozess der Form \(f\left( t \right) = c \cdot {a^t}\) in Abhängigkeit von der Zeit t.
t | f(t) |
0 | 400 |
1 | 600 |
2 | f(2) |
3 | f(3) |
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie für t = 2 und t = 3 die Werte der Funktion f!
f(2) =
f(3) =
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
Initiieren Sie das Laden des Videos, werden womöglich personenbezogene Daten in die USA zur Nutzeranalyse durch YouTube übermittelt. Datenschutzbestimmungen von YouTube
Lösungsweg
Unser Vorgehen: Wir setzen für t=0 bzw. t=1 die jeweiligen Funktionswerte ein und können mit Hilfe dieser beiden Gleichungen die beiden Unbekannten c una a bestimmen. Danach setzen wir t=2 bzw 3 ein und errechnen die zugehörigen Funktionswerte.
Wir setzen für t=0 bzw. t=1 die jeweiligen Funktionswerte ein und können mit Hilfe dieser beiden Gleichungen die beiden Unbekannten c una a bestimmen:
\(\begin{array}{l} f\left( t \right) = c \cdot {a^t}\\ f(t = 0) = c \cdot {a^0} = 400 \to c = 400\\ f\left( {t = 1} \right) = 400 \cdot {a^1} = 600 \to a = \dfrac{{600}}{{400}} = 1,5\\ f\left( t \right) = 400 \cdot {1,5^t} \end{array}\)
Es ist nicht erforderlich und es macht den weiteren Rechenweg auch nicht unbedingt einfacher, aber wir können, um in Übung zu bleiben, die Exponentialfunktion mit der Basis 1,5 auf die natürliche Exponentialfunktion mit der Basis e wie folgt umrechnen:
\(\begin{array}{l} \ln \left( {1,5} \right) = 0,4054\\ f\left( t \right) = 400 \cdot {e^{0,4054 \cdot t}} \end{array}\)
Nun kennen wir die Exponentialfunktion und errechnen daraus die beiden gesuchten Funktionswerte für t=2 bzw. 3
\(\begin{array}{l} f\left( 2 \right) = 400 \cdot {1,5^2} = 900\\ f\left( 3 \right) = 400 \cdot {1,5^3} = 1350 \end{array}\)
Nachfolgen eine Illustration:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{l} f\left( 2 \right) = 900\\ f\left( 3 \right) = 1350 \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung, wobei beide Werte richtig angegeben sein müssen.