Aufgabe 1339
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 11. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Exponentialfunktion
Eine reelle Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = c \cdot {a^x}\) ist eine Exponentialfunktion, für deren reelle Parameter c und a gilt: c ≠ 0, a > 1.
- Aussage 1: \(f\left( {k \cdot x} \right) = k \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 2: \(\dfrac{{f\left( {x + h} \right)}}{{f\left( x \right)}} = {a^h}\)
- Aussage 3: \(f\left( {x + 1} \right) = a \cdot f\left( x \right)\)
- Aussage 4: \(f\left( 0 \right) = 0\)
- Aussage 5: \(f\left( {x + h} \right) = f\left( x \right) + f\left( h \right)\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie jene beiden Aussagen an, die auf diese Exponentialfunktion f und alle Werte k, h ∈ ℝ, k > 1 zutreffen!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Lösungsweg
Wir setzen die jeweilige Bedingung in die gegebenen Gleichung ein und prüfen ob eine richtige Aussage vorliegt.
- Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cr & f\left( {k \cdot x} \right) = c \cdot {a^{k \cdot x}} = c \cdot {a^k} \cdot {a^x} = c \cdot {a^x} \cdot {a^k} = {a^k} \cdot f\left( x \right) \ne k \cdot f\left( x \right) \cr} \)
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cr & f\left( {x + h} \right) = c \cdot {a^{x + h}} = c \cdot {a^x} \cdot {a^h} = {a^h} \cdot f\left( x \right) \to {a^h} = \dfrac{{f\left( {x + h} \right)}}{{f\left( x \right)}} \cr} \)
- Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cr & f\left( {x + 1} \right) = c \cdot {a^{x + 1}} = \left( {c \cdot {a^x}} \right) \cdot {a^1} = a \cdot f\left( x \right) \cr} \)
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cr & f\left( {x = 0} \right) = c \cdot {a^0} = c \cdot a = c \ne 0 \cr} \)
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = c \cdot {a^x} \cr & f\left( {x + h} \right) = c \cdot {a^{x + h}} = \left( {c \cdot {a^x}} \right) \cdot {a^h} = f\left( x \right) \cdot {a^h} \ne f\left( x \right) \cdot f\left( h \right) \cr} \)Diese Aussage wäre nur im einzigen Spezialfall richtig, wenn \(f\left( h \right) = {a^h}\), doch f(h) ist ja überhaupt nicht gegeben und kann sonst wie aussehen...
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Aussagen angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.