Aufgabe 1166
AHS - 1_166 & Lehrstoff: AN 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erklärung des bestimmten Integrals
Der Begriff des bestimmten Integrals soll erklärt werden.
Aufgabenstellung:
Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Textbausteine so, dass eine korrekte Aussage entsteht!
Ein bestimmtes Integral kann als _____1_____ einer/eines _______2_______ gedeutet werden.
1 | |
Summe | A |
Produkt | B |
Grenzwert | C |
2 | |
Grenzwertes von Summen | I |
Summe von Produkten | II |
Produktes von Grenzwerten | III |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Wie kann man das bestimmte Integral geometrisch erklären?
Das bestimmte Integral ist ein dimensionsloser Zahlenwert, der der Fläche entspricht, die
- oben vom Graphen f(x)
- unten von der x-Achse
- links von der „unteren“ Grenze, gemäß der Geraden x=a
- rechts von der „oberen Grenze, gemäß der Geraden x=b
begrenzt wird.
Wie kann man sich den Begriff „Produktsumme“ (=Summe von Produkten) vorstellen?
Man zerlegt geometrisch die von den Funktionen begrenzte Fläche in viele schmale parallele Streifen. Summiert man das Produkt aus der „Breite der Streifen“ und der „Höhe der Streifen“ über alle Streifen auf, so erhält man eine Näherung für den gesuchten Flächeninhalt. Die Genauigkeit der Näherung hängt nur von der Breite der Streifen ab. Je schmaler die Streifen, umso besser die Näherung des Flächeninhalts.
Was kann man sich unter einem „Integral“ vorstellen?
Bei Flächen die von krummlinigen Kurven (Funktionen f(x)) begrenzt werden, kann man die Fläche leider nicht, wie beim Rechteck, mit „Länge mal Breite“ berechnen. Am einfachsten denkt man beim Wort „Integral“ sofort an die „Summe von unendlich vielen und zugleich unendlich schmalen Rechteckstreifen“.
Lösungsweg
Mit den oben angeführten Erklärungen kann man die Korrekte Lösung sofort erkennen
"Summe von Produkten" muss die richtige Wahl sein, denn das Integral summiert Rechtecke mit Länge "mal" Breite auf , also das Produkt aus Länge mal Breite→ II
"Grenzwert" muss die richtige Wahl sein, denn die Berechnung wird immer genauer, je mehr die Breite jedes einzelnen Streifen gegen (den Grenzwert) Null geht
Ein bestimmtes Integral kann als Grenzwert einer/eines Summe von Produkten gedeutet werden.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Ein bestimmtes Integral kann als Grenzwert einer/eines Summe von Produkten gedeutet werden.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn für beide Lücken ausschließlich der jeweils richtige Satzteil angekreuzt ist.