Aufgabe 1787
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. September 2020 - Teil-1-Aufgaben - 6. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Leiter
Eine 4 m lange Leiter wird auf einem waagrechten Boden aufgestellt und an eine senkrechte Hauswand angelegt. Die Leiter muss mit dem Boden einen Winkel zwischen 65° und 75° einschließen, um einerseits ein Wegkippen und andererseits ein Wegrutschen zu vermeiden.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie den Mindestabstand und den Hochstabstand des unteren Endes der Leiter von der Hauswand.
- Mindestabstand von der Hauswand: ____m
- Hochstabstand von der Hauswand: ____m
[0 / ½ / 1 Punkt]
Lösungsweg
Wir machen eine Skizze:
Es liegt ein rechtwinkeliges Dreieck vor.
- l=4m: Die Länge der Leiter, zugleich die Hypotenuse, entnehmen wir der Angabe
- \(\alpha \) : Der Winkel zwischen Leiter und Boden soll 65° bzw. 75° betragen
- d: Abstand des unteren Endes der Leiter von der Hauswand. Es handelt sich dabei um die Ankathete (=die anliegende Seite) zum Winkel
Wir wissen dass der Kosinus dem Verhältnis zwischen Ankathete und Hypotenuse entspricht
\(\cos \left( \alpha \right) = \dfrac{{{\rm{Ankathete}}}}{{{\rm{Hypotenuse}}}} = \dfrac{d}{l} = \dfrac{d}{4}\)
und können durch eine einfache Umformung d anschreiben:
\(d = 4 \cdot \cos \left( \alpha \right)\)
Indem wir den jeweiligen Wert vom Winkel Alpha einsetzen, erhalten wir die beiden gesuchten Abstände d wie folgt:
\(\begin{array}{l} {d_{{\rm{Min}}}} = 4 \cdot \cos \left( {75^\circ } \right) = 1,04\\ {d_{{\rm{Max}}}} = 4 \cdot \cos \left( {65^\circ } \right) = 1,69 \end{array}\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Mindestabstand von der Hauswand: ca. 1,04 m
- Höchstabstand von der Hauswand: ca. 1,69 m
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der beiden richtigen Werte. Für die Angabe von nur einem richtigen Wert ist ein halber Punkt zu geben.