Aufgabe 1734
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 14. Jänner 2020 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Äquivalente Gleichungen
Gegeben ist die Gleichung \(\dfrac{x}{2} - 4 = 3{\text{ in }}x \in {\Bbb R}\)
- Aussage 1: \(x - 4 = 6\)
- Aussage 2: \(\dfrac{x}{2} = - 1\)
- Aussage 3: \(\dfrac{x}{2} - 3 = 4\)
- Aussage 4: \(\dfrac{{x - 8}}{2} = 3\)
- Aussage 5: \({\left( {\dfrac{x}{2} - 4} \right)^2} = 9\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Kreuzen Sie die beiden obenstehenden Gleichungen in \(x \in {\Bbb R}\) an, die zur gegebenen Gleichung äquivalent sind.
Lösungsweg
- Aussage 1: Falsch, weil \(\dfrac{x}{2} - 4 = 3{\text{ }}\left| { \cdot 2} \right. \to x - 8 = 6 \ne x - 4\)
- Aussage 2: Falsch, weil \(\dfrac{x}{2} - 4 = 3\left| { + 4 \to \dfrac{x}{2}} \right. = 7 \ne - 1\)
- Aussage 3: Richtig, weil \(\dfrac{x}{2} - 4 = 3\left| { + 1 \to \dfrac{x}{2} - 3 = 4\,\,{\text{wzbw}}} \right.\)
- Aussage 4: Richtig, weil \(\dfrac{x}{2} - 4 = 3 \to \dfrac{x}{2} - \dfrac{{2 \cdot 4}}{2} = 3 \to \dfrac{{x - 8}}{2} = 3\,\,{\text{wzbw}}\)
- Aussage 5: Falsch, weil bei Äquivalenzumformungen werden beide Seiten einer Ungleichung / Gleichung so verändert, dass die getroffene Aussage erhalten bleibt. Die ursprüngliche und die umgeformte Gleichung müssen dieselbe Lösungsmenge haben.
- Die gegebene Gleichung ist linear (x kommt nur zur 1. Potenz vor), weshalb die Gleichung nur 1 Lösung (x=14) hat.
- Die Gleichung aus Aussage 5 ist quadratisch (x kommt zur 2. Potenz vor) weshalb diese Gleichung 2 Lösungen (x=2 und x=14) hat.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden laut Lösungserwartung richtigen Gleichungen angekreuzt sind.