Aufgabe 1687
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Anhalteweg
Schülerinnen und Schüler einer Fahrschule lernen die nachstehende Formel für die annäherungsweise Berechnung des Anhaltewegs s. Dabei ist v die Geschwindigkeit des Fahrzeugs (s in m, v in km/h).
\(s = \dfrac{v}{{10}} \cdot 3 + {\left( {\dfrac{v}{{10}}} \right)^2}\)
Bei „Fahren auf Sicht“ muss man jederzeit die Geschwindigkeit so wählen, dass man innerhalb der Sichtweite anhalten kann. „Sichtweite“ bezeichnet dabei die Lange des Streckenabschnitts, den man sehen kann.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Berechnen Sie die maximal zulässige Geschwindigkeit bei einer Sichtweite von 25 m!
Die maximal zulässige Geschwindigkeit beträgt ≈ ______km/h.
Lösungsweg
Die gegebene Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen Weg und Geschwindigkeit.
\(s = \dfrac{v}{{10}} \cdot 3 + {\left( {\dfrac{v}{{10}}} \right)^2}\)
Da der Weg mit 25m in der Aufgabenstellung vorgegeben ist, können wir diesen Wert für s einsetzen und erhalten eine quadratische Gleichung für die Unbekannte v. Wir wenden die pq-Formel an. Nur eine der beiden Lösungen macht physikalisch Sinn:
\(\eqalign{ & s = \dfrac{v}{{10}} \cdot 3 + {\left( {\dfrac{v}{{10}}} \right)^2} \cr & \cr & 25 = \dfrac{v}{{10}} \cdot 3 + \dfrac{{{v^2}}}{{100}}\,\,\,\,\,\left| { \cdot 100} \right. \cr & 2500 = 30 \cdot v + {v^2}\,\,\,\,\,\left| { - 2500} \right. \cr & {v^2} + 30 \cdot v - 2500 = 0 \cr & \cr & {v_{1,2}} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {{{\left( {\dfrac{p}{2}} \right)}^2} - q} \cr & \cr & {v_{1,2}} = - \dfrac{{30}}{2} \pm \sqrt {{{15}^2} + 2500} = - 15 \pm \sqrt {2725} \cr & {v_1} = - 15 + 52,2015 = 37,2{\text{ km/h}} \cr & \left( {{v_2} = - 15 - 52,2015} \right) \cr} \)
→ Die maximal zulässige Geschwindigkeit beträgt ≈ 37,2 km/h.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die maximal zulässige Geschwindigkeit beträgt ≈ 37,2 km/h.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die richtige Lösung.
Toleranzintervall: [37; 38]