Aufgabe 1642
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2018 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zur x-Achse parallele Gerade
Gegeben ist eine Gerade g mit der Parameterdarstellung:
\(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 1 \end{array}} \right) + t \cdot \overrightarrow a {\rm{ }}\) mit \(t \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung
Geben Sie einen Vektor \(\overrightarrow a \in {{\Bbb R}^2}\) mit \(\overrightarrow a \ne \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0 \end{array}} \right)\) so an, dass die Gerade g parallel zur x-Achse verlauft!
Lösungsweg
Es handelt sich um die Punkt-Richtungsform der Geraden. Die Koordinaten von einem Punkt auf der Gerade sind gegeben. Wir müssen noch den Richtungsvektor \(\overrightarrow a \) so bestimme,, dass dieser in Richtung der x-Achse zeigt.
Wir machen eine Skizze:
Der Illustration entnehmen wir, dass für den Richtungsvektor \(\overrightarrow a \) als y-Komponente \({a_y} = 0\) gelten muss, wodurch der Richtungsvektor keine Steigung - so wie auch die x-Achse - hat. Für seine x-Komponente können wir jeden Wert einsetzen, solange \({a_x} \in R\backslash \left\{ 0 \right\}\) gilt.
Es ist naheliegend den gesuchten Richtungsvektor mit \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right)\)anzuschreiben. Gleichwertig, aber wesentlich allgemeiner: \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ 0 \end{array}} \right)\) mit \({a_1} \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Es kann aber gleichwertig auch ein beliebig in der Ebene positionierter Vektor sein, solange seine y-Komponenten Null ist, damit der Richtungsvektor auch in die Richtung der x-Achse zeigt.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 0 \end{array}} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für einen korrekten Vektor \(\overrightarrow a \). Jeder Vektor \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ 0 \end{array}} \right)\) mit \({a_1} \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) ist als richtig zu werten.