Aufgabe 1616
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-1-Aufgaben - 3. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Lösungsfälle quadratischer Gleichungen
Gegeben ist eine quadratische Gleichung der Form \(r \cdot {x^2} + s \cdot x + t = 0{\text{ mit }}r,s,t \in {\Bbb R}\backslash \left\{ 0 \right\}\). Die Anzahl der reellen Lösungen der Gleichung hängt von r, s und t ab.
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Geben Sie die Anzahl der reellen Lösungen der gegebenen Gleichung an, wenn r und t verschiedene Vorzeichen haben, und begründen Sie Ihre Antwort allgemein!
Lösungsweg
Auch wenn die Koeffizienten der Gleichung r, s und t lauten, so handelt es sich doch um die vertraute abc-Formel.
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr} \) | \(\eqalign{ & r \cdot {x^2} + s \cdot x + t = 0 \cr & {x_{1,2}} = \frac{{ - s \pm \sqrt {{s^2} - 4rt} }}{{2r}} \cr & D = {s^2} - 4rt \cr} \) |
Quadratische Gleichungen haben, abhängig von der Diskriminanten "D" genau 3 mögliche Lösungsfälle.
1. Fall: D > 0 → 2 Lösungen in R
2. Fall: D = 0 → 1 (eigentlich 2 gleiche) Lösung in R
3. Fall: D < 0 → keine Lösung in R, aber 2 konjugiert komplexe Lösungen in C
→ Wenn r und t verschiedene Vorzeichen haben, dann ist deren Produkt auf jeden Fall negativ. Aus der Differenz wird auf Grund des negativen Subtrahenden 4rt eine Summe, und somit ist die Diskriminante D auf jeden Fall positiv: D > 0 → 2 Lösungen in R.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Die Gleichung hat 2 Lösungen in R, weil die Diskriminante D bei unterschiedlichem Vorzeichen von r und t auf jeden Fall positiv ist.
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der richtigen Anzahl und eine korrekte allgemeine Begründung.