Aufgabe 1565
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-1-Aufgaben - 1. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ganze Zahlen
Es sei a eine positive ganze Zahl.
- Aussage 1: \({a^{ - 1}}\)
- Aussage 2: \({a^2}\)
- Aussage 3: \({a^{\dfrac{1}{2}}} \)
- Aussage 4: \(3 \cdot a\)
- Aussage 5: \(\dfrac{a}{2}\)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Welche der obenstehenden Ausdrucke ergeben für a ∈ ℤ+ stets eine ganze Zahl? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Ausdrücke an!
Lösungsweg
Können wir die jeweilige Aussage mit den gegebenen Definitionen in Einklang bringen, so ist die Aussage als richtig zu werten. Finden wir allerdings ein einziges Gegenbeispiel, so ist die Aussage als falsch zu werten. Zudem gilt:
\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}\)
Zur Lösung der Aufgabenstellung müssen wir einfache Regeln für das Umformen von Exponenten (Hochzahlen) anwenden.
- Aussage 1: Falsch, weil \({a^{ - 1}} = \dfrac{1}{a} < 1\) ein Bruch mit 1 im Zähler und a im Nenner und daher eine Zahl wischen 0 und 1 ist
- Aussage 2: Richtig, weil \({a^2}\) das Quadrat einer positiven ganzen Zahl ist und daher wieder eine positive ganze Zahl ergibt
- Aussage 3: Falsch, weil \({a^{\frac{1}{2}}} = \sqrt[2]{{{a^1}}} = \sqrt a \) die Wurzel von a ist und daher zb im Fall von a = 2: \(\sqrt 2 = 1,4142\)
- Aussage 4: Richtig, weil \(3 \cdot a\)eine dreimal so hohe positive ganze Zahl wie a ist
- Aussage 5: Falsch, weil \(\dfrac{a}{2}\) die Hälfte einer ungeraden positiven ganzen Zahl keine ganze Zahl ist. z.B. \(\dfrac{3}{2} = 1,5\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Falsch
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden richtigen Ausdrücke angekreuzt sind.