Aufgabe 1516
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 2. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleichungssystem
Gegeben ist ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen in den Variablen \(x,y \in {\Bbb R}\)
\(\begin{array}{*{20}{r}} {I:}&x& + &{4y}& = &{ - 8}&{}\\ {II:}&{ax}& + &{6y}& = &c&{{\rm{mit }}{\,\,a,c \in {\Bbb R}} } \end{array}\)
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie diejenigen Werte für a und c, für die das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat!
Lösungsweg
Wir erkennen dass es sich um 2 lineare Gleichungen in den Variablen x und y handelt. Man kann daher beide Gleichungen in die Form einer Geraden mit \(y = k \cdot x + d\) bringen. Gemäß Angabe sollen die beiden gegebenen Gleichungen unendlich viele Lösungen besitzen. Daher müssen die beiden Geraden die den beiden gegebenen Gleichungen entsprechen deckungsgleich sein, denn nur dann haben sie unendlich viele gemeinsame Punkte. 2 Geraden sind dann identisch, wenn sie das selbe k und das selbe d haben.
Dh die beiden Gleichungen müssen Vielfache von einander sein.
\(\begin{array}{*{20}{c}} x& + &{4y}& = &{ - 8}\\ {ax}& + &{6y}& = &c \end{array}\)
Am y-Wert der beiden Gleichungen erkennen wir, dass wir die obere Gleichung mit 1,5 multiplizieren müssen, um auf die untere Gleichung zu kommen:
\(\begin{array}{*{20}{c}} x& + &{4y}& = &{ - 8}&{\left| { \cdot 1,5} \right.}\\ {1,5x}& + &{6y}& = &{ - 12}&{} \end{array}\)
Durch einen simplen Koeffizientenvergleich erhalten wir als Lösung die gesuchten Werte für a und c:
\(\begin{array}{*{20}{c}} {1,5x}& + &{6y}& = &{ - 12}\\ {ax}& + &{6y}& = &c \end{array}\)
somit:
\(\begin{array}{l} a = 1,5\\ c = - 12 \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{l} a = 1,5\\ c = - 12 \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für die Angabe der korrekten Werte von a und c.