Aufgabe 1393
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 16. Jänner 2015 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Normalvektoren
Gegeben ist der Vektor \(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 3\\ 5 \end{array}} \right)\)
- Aussage 1: \(\overrightarrow {{b_1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 1}\\ 1 \end{array}} \right)\)
- Aussage 2: \(\overrightarrow {{b_2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ { - 5} \end{array}} \right)\)
- Aussage 3: \(\overrightarrow {{b_3}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 5\\ { - 3} \end{array}} \right)\)
- Aussage 4: \(\overrightarrow {{b_4}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 0\\ 1 \end{array}} \right)\)
- Aussage 5: \(\overrightarrow {{b_5}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 3\\ 0 \end{array}} \right)\)
Aufgabenstellung:
Welche(r) der oben stehenden Vektoren \(\overrightarrow {{b_1}} \) ... \(\overrightarrow {{b_5}}\) steht/stehen normal auf den Vektor \(\overrightarrow a\) ? Kreuzen Sie den / die zutreffende(n) Vektor(en) an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
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Lösungsweg
Im dreidimensionalen Raum lautet das Orthogonalitätskriterium wie folgt: Das Skalarprodukt der beiden Vektoren muss Null sein, damit die Vektoren normal auf einander stehen
\(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {a_x} \cdot {b_x} + {a_y} \cdot {b_y} + {a_z} \cdot {b_z} = 0 \to \overrightarrow a \bot \overrightarrow b \)
- Aussage 1: Richtig, weil: \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow {{b_1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 3\\ 5 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 1}\\ 1 \end{array}} \right) = - 1 \cdot 2 + 3 \cdot \left( { - 1} \right) + 5 \cdot 1 = - 2 + - 3 + 5 = 0 \to \overrightarrow a \bot \overrightarrow {{b_1}} \)
- Aussage 2: Falsch, weil \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow {{b_2}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 3\\ 5 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ { - 5} \end{array}} \right) = - 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 5 \cdot \left( { - 5} \right) = 0 + 0 - 25 \ne 0 \to \overrightarrow a \,\,\angle \,\,\overrightarrow {{b_2}} \)
- Aussage 3: Richtig, weil \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow {{b_3}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 3\\ 5 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 5\\ { - 3} \end{array}} \right) = - 1 \cdot 0 + 3 \cdot 5 + 5 \cdot \left( { - 3} \right) = 0 + 15 - 15 = 0 \to \overrightarrow a \bot \overrightarrow {{b_3}} \)
- Aussage 4: Richtig, weil \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow {{b_4}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 3\\ 5 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ 0\\ 1 \end{array}} \right) = - 1 \cdot 5 + 3 \cdot 0 + 5 \cdot 1 = - 5 + 0 + 5 = 0 \to \overrightarrow a \bot \overrightarrow {{b_4}} \)
- Aussage 5: Falsch, weil \(\overrightarrow a \cdot \overrightarrow {{b_5}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 3\\ 5 \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 3\\ 0 \end{array}} \right) = - 1 \cdot \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 0 = 1 + 9 + 0 \ne 0 \to \overrightarrow a \,\,\angle \,\,\overrightarrow {{b_5}} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Falsch
- Aussage 3: Richtig
- Aussage 4: Richtig
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die 3 richtigen Antwortmöglichkeiten angekreuzt sind.