Aufgabe 1206
AHS - 1_206 & Lehrstoff: AG 3.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Betriebsgewinn
Ein Betrieb produziert und verkauft die Produkte P1, … , P5. In der vorangegangenen Woche wurden xi Stück des Produktes Pi produziert und auch verkauft. Das Produkt Pi wird zu einem Stückpreis vi verkauft, ki sind die Herstellungskosten pro Stück Pi. Die Vektoren X, V und K sind folgendermaßen festgelegt:
\(X = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{x_1}}\\ {{x_2}}\\ {{x_3}}\\ {{x_4}}\\ {{x_5}} \end{array}} \right)\); \(V = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{v_1}}\\ {{v_2}}\\ {{v_3}}\\ {{v_4}}\\ {{v_5}} \end{array}} \right)\); \(K = \left( {\begin{array}{*{20}{r}} {{k_1}}\\ {{k_2}}\\ {{k_3}}\\ {{k_4}}\\ {{k_5}} \end{array}} \right)\)
Aufgabenstellung:
Geben Sie mithilfe der gegebenen Vektoren einen Term an, der für diesen Betrieb den Gewinn G der letzten Woche beschreibt!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Uns ist aus der Schulmathematik vertraut, dass ein Vektor im 3 dimensionalen Raum wie folgt aussieht:
Vektor
\(\overrightarrow a = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}}\\ {...}\\ {{a_n}} \end{array}} \right)\)
- an: Die Werte an bezeichnet man als die Komponenten des Vektors.
- n: Also die Anzahl der Komponenten eines Vektors, bezeichnet man als die Dimension des Vektors.
Die Gesamtheit der Komponenten eines Vektors (der Klammerausdruck, der den Vektor repräsentiert) entsprechen daher einem Tupel.
Im vorliegenden Beispiel ist der Vektor 5-dimensional, wo bei dei Dimensionen aber nicht "x", "y", "z" ,... lauten, sondern :
- "produzierte und verkaufte Stück vom Produkt P1" "produzierte und verkaufte Stück vom Produkt P2" ... diese Dimension hat die Einheit Stück
- "Verkaufspreis pro Stück P1" ... "Verkaufspreis pro Stück P5" .... diese Dimension hat die Einheit €
- "Herstellkosten pro Stück P1" ... "Herstellkosten pro Stück P5" ...... diese Dimension hat die Einheit €
Lösungsweg
- Vektor X: produzierte und verkaufte Stück vom Produkt P1
- Vektor V: Verkaufspreis pro Stück P1 .. P5
- Vektor K: Herstellkosten pro Stück P1 .. P5
Gewinn = Einnahmen minus Ausgaben (V-K)
Aber Achtung:
Da sowohl die Einnahmen V als auch die Ausgaben K sind pro Stück, müssen wir mit der Stückzahl X multiplizieren...
Gewinn \(G = X \cdot \left( {V - K} \right)\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(G = X \cdot \left( {V - K} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn ein zur Lösung äquivalenter Term angegeben wurde.