Aufgabe 5690
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Spielshow – Aufgabe B_574
Teil c
Im Rahmen einer Spielshow müssen die teilnehmenden Personen aus Spielkarten Kartenhäuser bauen. Dabei muss das jeweilige Kartenhaus in jeder Runde um ein Stockwerk höher gebaut werden.
In der obigen Abbildung sind die Spielkarten im jeweils untersten Stockwerk rot dargestellt. Die Anzahl der Spielkarten im jeweils untersten Stockwerk bildet die arithmetische Folge (an) mit a1 = 3.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Geben Sie die Folgenglieder a2 und a3 an.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Erstellen Sie ein explizites Bildungsgesetz für diese Folge.
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3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie das Folgenglied a10.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Laut Aufgabenstellung betrachten wir nur das unterste Stockwerk, also die rot eingezeichneten Karten.
- Um 1 Stockwerk zu bauen, werden im untersten Stockwerk a1=3 Karten benötigt.
- Um 2 Stockwerke zu bauen, werden im untersten Stockwerk a2=3+3=6 Karten benötigt.
- Um 3 Stockwerke zu bauen, werden im untersten Stockwerk a3=3+3+3=9 Karten benötigt.
Somit ergeben sich die gesuchten Folgeglieder zu:
\(\begin{array}{l} {a_1} = 3\\ {a_2} = 6\\ {a_3} = 9 \end{array}\)
2. Teilaufgabe
Das explizite Bildungsgesetz einer arithmetischen Folge lautet:
\(\begin{array}{l} {a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\\ d = {a_{n + 1}} - {a_n} \end{array}\)
Wir setzen ein
\(\begin{array}{l} d = {a_{n + 1}} - {a_n} = \left( {9 - 6} \right) = \left( {6 - 3} \right) = 3\\ {a_1} = 3\\ \\ {a_n} = {a_1} + \left( {n - 1} \right) \cdot d\\ {a_n} = 3 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3 = 3 \cdot n \end{array}\)
3. Teilaufgabe
a10=?
\(\begin{array}{l} {a_n} = 3 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3 = 3 \cdot n\\ {a_{n = 10}} = 3 \cdot 10\\ {a_{10}} = 30 \end{array}\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\begin{array}{l} {a_1} = 3\\ {a_2} = 6\\ {a_3} = 9 \end{array}\)
2. Teilaufgabe
\({a_n} = 3 \cdot n\)
3. Teilaufgabe
\({a_{10}} = 30\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das Angeben der richtigen Werte der Folgenglieder a2 und a3.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Erstellen des expliziten Bildungsgesetzes.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Folgenglieds a10.