Aufgabe 5682
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 11. Jänner 2023 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Piratenschiff – Aufgabe B_572
Piratenschiff ist ein Spiel im Turnunterricht. Für dieses Spiel wird ein Parcours mit Turngeräten als Hindernissen aufgebaut, in dem Fangen gespielt wird.
Teil a
An einen Kasten (Turngerät) wird eine Matte gelegt. In der nachstehenden Abbildung ist der Verlauf der Matte zwischen den Punkten A und B durch den Graphen der Funktion f modellhaft dargestellt.
Es gilt:
\(f\left( x \right) = a - 1,209 \cdot \ln \left( {x + 0,5} \right)\)
- x ... horizontale Entfernung von der Wand in m
- f(x) ... Höhe über dem Boden bei der horizontalen Entfernung x in m
- a ... Parameter
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Ermitteln Sie den Parameter a.
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 05:40
Berechnen Sie die Stelle xB.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Der Punkt A muss die Funktionsgleichung erfüllen, daher setzen wir wie folgt ein und machen anschließend a explizit
\(\begin{array}{l} A = \left( {0,5\left| {1,2} \right.} \right)\\ f\left( x \right) = a - 1,209 \cdot \ln \left( {x + 0,5} \right)\\ \\ a - 1,209 \cdot \ln \left( {0,5 + 0,5} \right) = 1,2\\ a = 1,2 + 1,209 \cdot \ln \left( 1 \right) = 1,2 + 1,209 \cdot 0 = 1,2\\ \\ a = 1,2 \end{array}\)
2. Teilaufgabe
Die y-Koordinate vom Punkt B ist zugleich der Funktionswert bei f(x=xB)
\(\begin{array}{l} B = \left( {{x_B}\left| 0 \right.} \right)\\ f\left( x \right) = 1,2 - 1,209 \cdot \ln \left( {x + 0,5} \right)\\ \\ 1,2 - 1,209 \cdot \ln \left( {{x_B} + 0,5} \right) = 0\,\,\,\,\,\left| { - 1,2\,\,\,\,\,\left| { \cdot \left( { - 1} \right)} \right.} \right.\\ 1,209 \cdot \ln \left( {{x_B} + 0,5} \right) = 1,2\,\,\,\,\,\left| {:1,209} \right.\\ \ln \left( {{x_B} + 0,5} \right) = \dfrac{{1,2}}{{1,209}}\,\,\,\,\,\left| { \cdot e} \right.\\ {x_B} + 0,5 = {e^{\dfrac{{1,2}}{{1,209}}}}\,\,\,\,\,\left| { - 0,5} \right.\\ {x_B} = {e^{\dfrac{{1,2}}{{1,209}}}} - 0,5 \approx 2,19812 \end{array}\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(a = 1,2\)
2. Teilaufgabe
\({x_B} \approx 2,19812\)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln des Parameters a.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen der Stelle xB.