Aufgabe 4457
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Öffentlicher Verkehr in Wien - Aufgabe B_515
Teil a
In Wien kostet die Jahreskarte für öffentliche Verkehrsmittel bei einmaliger Zahlung € 365. Alternativ dazu kann die Jahreskarte auch durch 12 monatliche Zahlungen zu je € 33 bezahlt werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie denjenigen effektiven Jahreszinssatz, bei dem 12 vorschüssige Monatsraten in Höhe von € 33 einem Barwert von € 365 entsprechen.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir veranschaulichen die Problematik an Hand folgender grundsätzlicher Überlegung:
\(\eqalign{ & 12 \cdot 33 = 396 > 365 \cr & \Delta p = 396 - 365 = 31 \cr} \)
Durch die 12 monatlichen Zahlungen wird die Jahreskarte um 31€ teurer als bei einmaliger Vorauszahlung.
Der Barwert ist ein Maß für den Wert, der einer zukünftigen Zahlung in der Gegenwart entspricht. Der Barwert einer Rente ist die Summe aller Rentenzahlungen auf den Anfangszeitpunkt abgezinst. Ein Blick in die Formelsammlung liefert:
\({B_{vorsch}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right) \cdot \dfrac{1}{{{q^{n - 1}}}}\)
Mit R=33, n=12 Monate, Bvorsch=365 berechnen wir zunächst den monatlichen Aufzinsungsfaktor qm wie folgt:
\(\eqalign{ & 365 = 33 \cdot \dfrac{{{q_m}^{12} - 1}}{{{q_m} - 1}} \cdot \dfrac{1}{{{q_m}^{11}}}\,\,\,\,\,\left| {:33} \right. \cr & \dfrac{{365}}{{33}} = \dfrac{{{q_m}^{12} - 1}}{{{q_m}^{12} - {q_m}^{11}}} \to {q_m} \approx 1,01518 \cr} \)
Die Gleichung 12. Grades haben wir mit Hilfe von Technologie gelöst:
Wolfram Alpha: (365)/(33)=(q^(12)-1)/(q^(12)-q^(11))
Der monatliche Aufzinsungsfaktor qm beträgt ca. 1,01518. Der effektive Jahreszinssatz i ergibt sich gemäß i=q-1. Aber Achtung: Dieses q ist der jährliche Aufzinsungsfaktor, den wir aus dem monatlichen Aufzinsungsfaktor wie folgt berechnen:
\(q = {q_m}^{12} \approx {1,01518^{12}} \approx 1,19818\)
Nun können wir die eigentlich gesuchte Größe i berechnen:
\(\eqalign{ & i = q - 1 \cr & i \approx 1,19818 - 1 \approx 0,19818 \buildrel \wedge \over = 19,82\% \cr} \)
→ Der effektive Jahreszinssatz beträgt rund 19,82 %.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
Der effektive Jahreszinssatz beträgt rund 19,82 %.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Berechnen des effektiven Jahreszinssatzes.