Aufgabe 4456
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Porzellan - Aufgabe B_514
Ein Betrieb stellt Tassen und Vasen aus Porzellan her.
Teil b
Die Produktionseinschränkungen am Standort B des Betriebs sind in der nachstehenden Abbildung dargestellt.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Vervollständigen Sie die nachstehende Gleichung der Geraden e durch Eintragen der fehlenden Zahlen.
\(y = \boxed{} \cdot x + \boxed{}\)
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ordnen Sie den beiden Aussagen jeweils die entsprechende Gerade zu.
[0 / 1 P.]
- Aussage 1: Eine Gleichung der Geraden ist gegeben durch: \( - x + 15 \cdot y = 700\)
- Aussage 2: Die zugehörige Ungleichung beschreibt die Mindestproduktionsmenge für eines der beiden Produkte.
- Gerade a
- Gerade b
- Gerade c
- Gerade d
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Der Verkaufspreis für eine Tasse beträgt € 8, jener für eine Vase € 12. Der Erlös soll maximiert werden. Stellen Sie eine Gleichung der Zielfunktion E für den Erlös auf.
E(x, y) =
[0 / 1 P.]
4. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Ermitteln Sie die optimalen Produktionsmengen für den Standort B.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Der Grafik können wir 2 Punkte mit ganzzahligen ablesbaren Koordinaten entnehmen:
\(\begin{array}{l} P = \left( {0|30} \right)\\ Q = \left( {350|10} \right) \end{array}\)
Wir sollen die Gleichung einer Geraden des Typen \(y = k \cdot x + d\) angeben.
- Den Parameter bzw. Ordinatenabschnitt d können wir im Punkt P zu d=30 ablesen
- Für die Steigung k gilt:
\(k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{{Q_y} - {P_y}}}{{{Q_x} - {P_x}}} = \dfrac{{10 - 30}}{{350 - 0}} = - \dfrac{{20}}{{350}} = - \dfrac{2}{{35}}\)
Die Gleichung der Geraden e lautet:
\(y = - \dfrac{2}{{35}} \cdot x + 30\)
2. Teilaufgabe:
Aussage 1: Wir formen die gegebene implizite Geradengleichung in die Hauptform der Geradengleichung um:
\(\eqalign{ & - x + 15 \cdot y = 700\,\,\,\,\,\left| { + x\,\,\,\,\,\left| {:15} \right.} \right. \cr & y = \frac{1}{{15}} \cdot x + 46,666 \cr & k > 0,\,\,\,d = 46,666 \to {\text{ Gerade b}} \cr} \)
Aussage 2: Eine Mindestproduktionsmenge muss parallel zur x- oder y-Achse verlaufen, weil dort ja die Anzahl der Tassen bzw. die Anzahl der Vasen aufgetragen wird und möglichst nahe bei der Stückzahl 0 liegen: Gerade a beschreibt die Mindestproduktionsmenge \(x \geqslant 50\) Stück für Tassen.
3. Teilaufgabe:
Der Erlös bzw. der Umsatz errechnet sich als Produkt vom Verkaufspreis mal der Anzahl der verkauften Mengeneinheiten. Die Preise entnehmen wir der Angabe, die Mengen sind x-Stück bzw. y-Stück, somit:
\(E\left( {x,y} \right) = 8 \cdot x + 12 \cdot y\)
4. Teilaufgabe:
An der Stelle, wo der Grenzerlös null wird, liegt die optimale Produktionsmenge, bei welcher der maximale Ertrag erwirtschaftet wird. Dieser Ansatz eignet sich für eine arithmetische Lösung.
In diesem Fall wählen wir eine geometrische Lösung: Die optimale Produktionsmenge liegt im optimalen Punkt. Dieser liegt dort, wo die Gerade der Zielfunktion den zulässigen Lösungsbereich berührt.
Die Zielfunktion lautet gemäß 3. Teilaufgabe:
\(E\left( {x,y} \right) = 8 \cdot x + 12 \cdot y\)
Wir trennen die Variablen und ermitteln die Steigung der Geraden, deren Lage wir zunächst nicht kennen
\(\eqalign{ & 8 \cdot x + 12 \cdot y = {d_1}\,\,\,\,\,\left| { - 8 \cdot x} \right. \cr & 12 \cdot y = - 8 \cdot x + {d_1}\,\,\,\,\,\left| {:12} \right. \cr & y = - \dfrac{8}{{12}} \cdot x + \dfrac{{{d_1}}}{{12}} \cr & y = - \dfrac{2}{3} \cdot x + d \cr} \)
Wir kennen nun die Steigung all jener unendlich vielen Geraden, die parallel zur Zielfunktion verlaufen, mit k=-2/3. Den Ordinatenabschnitt d kennen wir zunächst noch nicht.
Wir zeichnen nun an einer beliebigen Stelle im Koordinatensystem eine Gerade mit der Steigung k=-2/3 ein. Anschließend verschieben wir diese Gerade so lange parallel, bis sie den Lösungsbereich an dessen äußerst rechten Grenzen gerade berührt.
Anmerkung: So kann man das Steigungsdreieck bei einem Raster von 10, bzw. 50 genau einzeichnen:
\(k = - \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{{50}}{{50}} = \dfrac{{ - 100}}{{150}} = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}}\)
Wir lesen die Koordinaten vom optimalen Punkt wie folgt ab:
E(350, 40) = 3 280
→ Für die optimale Produktionsmenge müssen 350 Tassen und 40 Vasen produziert werden.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(y = - \dfrac{2}{{35}} \cdot x + 30\)
2. Teilaufgabe
- Aussage 1: Gerade b
- Aussage 2: Gerade a
3. Teilaufgabe
\(E\left( {x,y} \right) = 8 \cdot x + 12 \cdot y\)
4. Teilaufgabe
Für die optimale Produktionsmenge müssen 350 Tassen und 40 Vasen produziert werden.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Vervollständigen der Gleichung der Geraden e.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Zuordnen.
3. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Gleichung der Zielfunktion E.
4. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der optimalen Produktionsmengen.