Aufgabe 4444
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Zahlen können auch komplex sein - Aufgabe B_510
Viele Vorgange in der Elektrotechnik können modellhaft mithilfe von komplexen Zahlen beschrieben werden. Dabei wird die imaginäre Einheit mit j bezeichnet.
Teil a
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung die komplexe Zahl
\({z_1} = 2 \cdot {e^{ - j\dfrac{\pi }{2}}}\)
[0 / 1 P.]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Zeichnen Sie in der nachstehenden Abbildung die beiden komplexen Zahlen z2 und z3 ein, die den Realteil –3 und den Betrag 5 haben.
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Die Mathematiker bezeichnen die imaginäre Einheit mit „i“. Die Elektrotechniker mit „j“, weil der Kleinbuchstabe i bereits für die zeitabhängige Stromstärke i=i(t) reserviert ist.
Es handelt sich bei z1 um eine komplexe Zahl in Polarform in exponentieller Darstellung, sodass folgende Zusammenhänge gelten:
\(\begin{array}{l} z = \left| z \right| \cdot {e^{i\varphi }} = \left| z \right| \cdot \left( {\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi } \right)\\ \\ {z_1} = 2 \cdot {e^{ - j\dfrac{\pi }{2}}}\\ \varphi = - \dfrac{\pi }{2} \buildrel \wedge \over = - 90^\circ \\ \left| z \right| = 2\\ \cos \left( { - 90} \right) = - 1\\ \sin \left( { - 90} \right) = 0 \end{array}\)
Der gesuchte Vektor, den wir in die komplexen Zahlenebene eintragen sollen, hat also den Betrag 2 und die Richtung -90°, er verläuft also in Richtung der negativen y-Achse.
2. Teilaufgabe:
Jede komplexe Zahl besteht aus einem Real- und einem Imaginärteil. (Stell dir einfach ein Vektor vor, der einen Anteil a in Richtung der x-Achse und einen Anteil b in Richtung der y-Achse hat)
\(z = a + ib\)
Der Betrag der komplexen Zahl ergibt sich (denke an den Satz des Pythagoras) zu:
\(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)
Gemäß der Angabe gilt:
\(\begin{array}{l} a = - 3\\ \left| z \right| = 5 \end{array}\)
Damit wir die komplexen Zahlen eintragen können, benötigen wir deren Imaginärteil, also deren Komponente in y-Richtung
\(\begin{array}{l} \left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \,\,\,\,\,\left| {^2} \right.\\ {5^2} = {( - 3)^2} + {b^2}\\ 25 = 9 + {b^2}\\ b = \sqrt {25 - 9} = \pm 4 \end{array}\)
Die beiden gesuchten Vektoren haben jeweils den Realteil a=-3, also 3 Einheiten auf der negativen x-Achse. Wobei der eine Vektor +4 Einheiten auf der y-Achse hat, während der andere Vektor 4 Einheiten auf der negativen y-Achse hat.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
2. Teilaufgabe
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen von z1.
2. Teilaufgabe
Ein Punkt für das richtige Einzeichnen von z2 und z3.