Aufgabe 4430

1. Teilaufgabe:

Bei der markierten Fläche handelt es sich um ein unregelmäßiges Fünfeck, ein so genanntes Pentagon. Wir zerlegen das Fünfeck in drei nicht-rechtwinkelige Dreiecke, wobei 2 der 3 Dreiecke flächengleich sind.

Wir betrachten den relevanten Ausschnitt der gegebenen Illustration:

Bild

Somit unter Verwendung der beiden Flächenformeln für allgemeine Dreiecke:

• "Seite mal zugehöriger Höhe - Halbe"
• bzw. der trigonometrischen Flächenformel:
  "Seite mal Seite - Halbe, mal Sinus vom eingeschlossenen Winkel"

\(\begin{array}{l} {A_{5 - Eck}} = {A_1} + 2 \cdot {A_2}\\ \\ {A_1} = \dfrac{{m \cdot h}}{2}\\ {A_2} = \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \left( \beta \right)\\ \\ {A_{5 - Eck}} = \dfrac{{m \cdot h}}{2} + 2 \cdot \dfrac{{a \cdot b}}{2} \cdot \sin \left( \beta \right)\\ {A_{5 - Eck}} = \dfrac{{m \cdot h}}{2} + a \cdot b \cdot \sin \left( \beta \right) \end{array}\)

2. Teilaufgabe:

Der Sinussatz bringt uns nicht weiter, weil wir 1 Seite und 2 Winkel oder 2 Seiten und 1 Winkel kennen müssten. Der Kosinussatz bringt uns zunächst auch nicht weiter, weil wir 3 Seiten oder 2 Seiten und der eingeschlossene Winkel kennen müssten.

Es bleibt uns also nichts anderes übrig als nach rechtwinkeligen Dreiecken zu suchen und mit deren Hilfe fehlende Seiten zu berechnen.

Bild

Vom rechtwinkeligen Dreieck mit den Seiten m/2, h und c können wir mit Hilfe vom Satz des Pythagoras die fehlende Seite c wir folgt berechnen:
\(\begin{array}{l} {\left( {\dfrac{m}{2}} \right)^2} + {h^2} = {c^2}\\ c = \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} \end{array}\)

Nun hilft uns der Kosinussatz weiter, in den wir die bekannten Größen einsetzen ...
\(\begin{array}{l} {c^2} = {a^2} + {b^2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot \cos \left( {\angle ab} \right)\\ 13 = {2^2} + {b^2} - 2 \cdot 2 \cdot b \cdot \cos \left( {132^\circ } \right)\,\,\,\,\left| { - 4} \right.\\ {b^2} - 4\cos \left( {132^\circ } \right)b - 9 = 0\\ \\ \left( {{b_1} \approx - 4,6} \right)\\ {b_2} \approx 1,9467 \end{array}\)

... und die daraus resultierende quadratische Gleichung mit Hilfe von Technologie wie folgt lösen:
Wolfram Alpha: b^(2)-4 cos (132)b-9=0

→ Die Länge der gesuchten Seite b beträgt ca. 1,95 m

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