Aufgabe 4351
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 08. Mai 2019 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Betonrohre - Aufgabe B_452
Teil c
Für Betonrohre des Modells C geht man von einer kubischen Kostenfunktion K aus.
\(K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d\)
x |
Produktionsmenge in ME |
K(x) |
Kosten bei der Produktionsmenge x in GE |
- Die Fixkosten betragen 150 GE.
- Bei einer Produktion von 20 ME ergeben sich Kosten von 530 GE.
- Bei einer Produktion von 10 ME ergeben sich Grenzkosten von 17 GE/ME.
- Bei einer Produktion von 30 ME ergeben sich Stückkosten von 22 GE/ME.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 17:00
Erstellen Sie ein Gleichungssystem zur Berechnung der Koeffizienten a, b, c und d.
[3 Punkte]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie diese Koeffizienten.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir haben 4 Unbekannte und benötigen daher 4 Gleichungen:
1. Gleichung: Die Fixkosten betragen 150 GE. Dh bei Stückzahl x=0 betragen die Kosten 150 GE.
\(K(x = 0) = d = 150\)
2. Gleichung: Bei einer Produktion von 20 ME ergeben sich Kosten von 530 GE.
\(\eqalign{ & K\left( {x = 20} \right) = a \cdot {20^3} + b \cdot {20^2} + c \cdot 20 + 150 = 530 \cr & 8000 \cdot a + 400 \cdot b + 20 \cdot c = 380 \cr} \)
3. Gleichung: Bei einer Produktion von 10 ME ergeben sich Grenzkosten von 17 GE/ME. Die Grenzkosten sagen, um wie viel sich die Kosten erhöhen, wenn man noch zusätzlich eine (unendlich kleine ≠ 1 Stk) Mengeneinheit produziert, unabhängig davon wie viel man bereits produziert hat.
\(\eqalign{ & K\left( x \right) = a \cdot {x^3} + b \cdot {x^2} + c \cdot x + d \cr & K'\left( x \right) = 3a \cdot {x^2} + 2b \cdot x + c \cr & K'\left( {x = 10} \right) = 3a \cdot 100 + 2b \cdot 10 + c = 17 \cr & 300 \cdot a + 20 \cdot b + c = 17 \cr} \)
4. Gleichung: Bei einer Produktion von 30 ME ergeben sich Stückkosten von 22 GE/ME.
\(\eqalign{ & K\left( {x = 30} \right) = a \cdot {30^3} + b \cdot {30^2} + c \cdot 30 + 150 = 30 \cdot 22 \cr & 27000 \cdot a + 900 \cdot b + 30 \cdot c = 510 \cr} \)
Das gesuchte Gleichungssystem lautet
\(\eqalign{ & d = 150 \cr & 8000 \cdot a + 400 \cdot b + 20 \cdot c = 380 \cr & 300 \cdot a + 20 \cdot b + c = 17 \cr & 27000 \cdot a + 900 \cdot b + 30 \cdot c = 510 \cr} \)
2. Teilaufgabe:
d=150 ist bereits bekannt. Berechnung mittels Technologieeinsatz vom verbleibenden Gleichungssystem gemäß der 1. Teilaufgabe liefert:
Wolfram Alpha: 8000a+400b+20c=380;300a+20b+c=17;27000a+900b+30c=510
\(\eqalign{ & a = \dfrac{1}{{50}} = 0,02 \cr & b = - \dfrac{6}{5} = - 1,2 \cr & c = 35 \cr & d = 150 \cr} \)
Nachfolgendes Video des BMBWF, welches in den Lösungsweg dieser Aufgabe eingebettet ist, um ein breites Spektrum an Informationen anzubieten, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & d = 150 \cr & 8000 \cdot a + 400 \cdot b + 20 \cdot c = 380 \cr & 300 \cdot a + 20 \cdot b + c = 17 \cr & 27000 \cdot a + 900 \cdot b + 30 \cdot c = 510 \cr} \)
2. Teilaufgabe:
\(\eqalign{ & a = \dfrac{1}{{50}} = 0,02 \cr & b = - \dfrac{6}{5} = - 1,2 \cr & c = 35 \cr & d = 150 \cr} \)
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × A1: für das richtige Erstellen der beiden Gleichungen mithilfe der Kosten
1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichung mithilfe der Grenzkosten
1 × A3: für das richtige Erstellen der Gleichung mithilfe der Stückkosten
2. Teilaufgabe:
1 × B: für die richtige Berechnung der Koeffizienten