Aufgabe 4115
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Hotelerweiterung - Aufgabe B_106
Ein Hotel plant die Errichtung zusätzlicher Zimmer.
Teil c
Bei einer bestimmten Kalkulation geht man bei einer Investitionssumme in Höhe von € 1.650.000 davon aus, dass 20 Jahre lang gleich hohe jährliche Rückflüsse in Hohe von jeweils € 78.000 zu erwarten sind. Die Rückflüsse können zu einem Wiederveranlagungszinssatz von 1,5 % p. a. angelegt werden.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie den Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Überprüfen Sie nachweislich mithilfe des modifizierten internen Zinssatzes, ob diese Investition vorteilhaft ist.
[1 Punkt]
3. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Argumentieren Sie, dass der modifizierte interne Zinssatz bei einem höheren Wiederveranlagungszinssatz höher wäre.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe:
Wir müssen den Endwert einer Rente mit nachschüssigen Raten berechnen. Ein Blick in die Formelsammlung liefert:
\({E_{nachsch}} = \left( {R \cdot \dfrac{{{q^n} - 1}}{{q - 1}}} \right)\)
mit:
\(\eqalign{ & q = 1 + i = 1 + 0,015 = 1,015 \cr & n = 20 \cr & R = 78.000 \cr & \cr & {E_{nach}} = 78000 \cdot \dfrac{{{{1,015}^{20}} - 1}}{{0,015}} = 1.803.646,03\,\,\mbox{€} \cr} \)
→ Der Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse beträgt € 1.803.646,03.
2. Teilaufgabe:
Wir müssen denjenigen Zinssatz berechnen mit dem aus der Investitionssumme der Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse wird. Ein Blick in die Formelsammlung liefert:
\(p\left[ \% \right] = \left( {\root n \of {\dfrac{{{K_n}}}{{{K_0}}}} - 1} \right) \cdot 100\)
bzw. wenn wir statt mit p in % mit der Dezimalzahl i rechnen und gemäß der Angabe einsetzen:
\(\eqalign{ & {i_{\bmod }} = \root {20} \of {\dfrac{{1803646.034}}{{1650000}}} - 1 \approx 0,00446 \cr & {p_{\bmod }} \approx 0,45\% < 1,5\% \cr} \)
→ Da der modifizierte interne Zinssatz geringer als der Wiederveranlagungszinssatz ist, ist die Investition nicht vorteilhaft.
3. Teilaufgabe:
Bei einem höheren Wiederveranlagungszinssatz wäre der Endwert der Rückflüsse größer (siehe 1. Teilaufgabe) und somit auch der modifizierte interne Zinssatz (siehe 2. Teilaufgabe, wo der Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse im Zähler unter der Wurzel steht).
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Der Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse beträgt € 1.803.646,03.
2. Teilaufgabe:
Da der modifizierte interne Zinssatz geringer als der Wiederveranlagungszinssatz ist, ist die Investition nicht vorteilhaft.
3. Teilaufgabe:
Bei einem höheren Wiederveranlagungszinssatz wäre der Endwert der Rückflüsse größer und somit auch der modifizierte interne Zinssatz.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × B: Für die richtige Berechnung des Endwerts (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × D1: Für den richtigen Nachweis mithilfe des modifizierten internen Zinssatzes (KB)
3. Teilaufgabe:
1 × D2: Für die richtige Argumentation (KA)