Aufgabe 4114
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 09. Mai 2018 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Hotelerweiterung - Aufgabe B_106
Ein Hotel plant die Errichtung zusätzlicher Zimmer.
Teil b
In der nachstehenden Abbildung ist der Kapitalwert einer Investition in Höhe von € 1.650.000 in Abhängigkeit vom kalkulatorischen Zinssatz dargestellt. Es werden gleich hohe jährliche Rückflüsse und eine Nutzungsdauer von 20 Jahren angenommen.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Lesen Sie aus dem Funktionsgraphen ab, bis zu welchem kalkulatorischen Zinssatz die Investition vorteilhaft ist.
[1 Punkt]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Bestimmen Sie die Höhe der jährlichen Rückflüsse.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wie hoch darf der kalkulatorische Zinssatz maximal sein, damit die Investition sinnvoll ist?
Investitionsvorhaben deren Kapitalwert positiv ist, erzielen eine Rendite, welche höher ist, als der Kalkulationszinsatz und sind daher für den Investor vorteilhaft. Bei einem negativen Kapitalwert bringt die betrachtete Investition hingegen keine Verzinsung in Höhe vom Kalkulationszinsatz.
Der Grafik entnehmen wir, dass der Kapitalwert bei einem kalkulatorischen Zinssatz von ca. 1,9% vom positiven in den negativen Bereich wechselt.
→ Bis zu einem kalkulatorischen Zinssatz von rund 1,9 % ist die Investition vorteilhaft.
2. Teilaufgabe
- Die Investition beträgt 1.650.000 €.
- Der Kapitalwert C0 ist der Wert des gesamten Gewinns einer Investition, abgezinst auf den Zeitpunkt der Investition. Die einfachste Rechnung ergibt sich bei 0% kalkulatorischem Zinssatz. Dann beträgt der Kapitalwert laut Grafik 350.000 € und man ohne weiterer Berücksichtigung von Zinsen rechnen.
Die Höhe der 20 jährlichen Rückflüsse ergibt sich somit zu
\(\eqalign{ & 1.650.000 + 350.000 = R \cdot 20 \cr & 2.000.000 = R \cdot 20 \cr & R = 100.000\,\,\mbox{€} \cr} \)
→ Die Höhe der jährlichen Rückflüsse beträgt € 100.000.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe:
Bis zu einem kalkulatorischen Zinssatz von rund 1,9 % ist die Investition vorteilhaft.
2. Teilaufgabe:
Die Höhe der jährlichen Rückflüsse beträgt € 100.000.
Lösungsschlüssel:
1. Teilaufgabe:
1 × C: Für das richtige Ablesen im Toleranzbereich [1,85 %; 1,95 %] (KA)
2. Teilaufgabe:
1 × B: Für das richtige Bestimmen der Höhe der jährlichen Rückflüsse (KA). Auch eine Lösung mithilfe des internen Zinssatzes oder eines anderen kalkulatorischen Zinssatzes ist als richtig zu werten.