Aufgabe 4045
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Angewandte Mathematik
Quelle: BHS Matura vom 10. Mai 2017 - Teil-B Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Catering - Aufgabe B_410
Teil c
In der nachstehenden Abbildung ist der Lösungsbereich zur Ermittlung des maximalen Gewinns beim Catering für ein anderes Event dargestellt. Die Gerade, für die der optimale Wert der Zielfunktion angenommen wird, ist strichliert eingezeichnet.
Die Punkte P1, P2, P3 und P4 liegen auf dem Koordinatengitter.
1. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 11:20
Erstellen Sie mithilfe der eingezeichneten Punkte die Gleichungen der beiden Begrenzungsgeraden, die zum Bestimmen der Produktionsmengen für den maximalen Gewinn benötigt werden.
[2 Punkte]
2. Teilaufgabe - Bearbeitungszeit 5:40
Berechnen Sie diejenigen Stückzahlen an pikantem Fingerfood und Dessert, bei denen ein maximaler Gewinn erzielt wird.
[1 Punkt]
Lösungsweg
1. Teilaufgabe
Wir haben jeweils 2 gesuchte Geraden, von denen wir je 2 Punkte kennen. Wir führen nachfolgend 2 verschiedene Methoden an, um die Geradengleichungen zu ermitteln:
In diesem Fall kann man d direkt ablesen, wir brauchen eigentlich nur mehr k.
Wir erstellen der Gleichung der Geraden P1P2 wie folgt:
\(\begin{array}{l} {P_1}\left( {0\left| {220} \right.} \right)\\ {P_2}\left( {140\left| {180} \right.} \right)\\ \\ \overline {{P_1}{P_2}} = {P_2} - {P_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {140 - 0}\\ {180 - 220} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {140}\\ { - 40} \end{array}} \right) \to k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 40}}{{140}} = - \dfrac{2}{7}\\ d = 220 \end{array}\)
→ \(\overline {{P_1}{P_2}} :y = k \cdot x + d = - \dfrac{2}{7} \cdot x + 220\)
In diesem Fall kann man d nicht direkt ablesen, wir brauchen daher k und d.
Wir erstellen der Gleichung der Geraden P3P4 wie folgt:
\(\begin{array}{l} {P_3}\left( {140\left| {220} \right.} \right)\\ {P_4}\left( {240\left| {120} \right.} \right) \end{array}\)
P3 und P4 müssen auf einer Geraden liegen und deren Gleichung daher erfüllen:
\(\begin{array}{l} y = kx + d\\ {P_3} \in y:220 = k \cdot 140 + d\\ {P_4} \in y:120 = k \cdot 240 + d\\ \\ Gl.1 - Gl.2:100 = - 100k \to k = - 1\\ Gl.1:220 = - 140 + d \to d = 360 \end{array}\)
→ \(\overline {{P_3}{P_3}} :y = k \cdot x + d = - 1 \cdot x + 360\)
Die gesuchten Gleichungen der beiden Geraden lauten somit:
\(\begin{array}{l} {P_1}{P_2}:y = - \dfrac{2}{7} \cdot x + 220\\ {P_2}{P_4}:y = - 1 \cdot x + 360 \end{array}\)
Alternativer Rechenweg für die Gerade P3P4:
Wir können d zwar nicht direkt ablesen, aber auf Grund der 45° Neigung im Kopf ausrechnen:
Wir erstellen der Gleichung der Geraden P3P4 wie folgt:
\(\begin{array}{l} {P_3}\left( {140\left| {220} \right.} \right)\\ {P_4}\left( {240\left| {120} \right.} \right)\\ \\ \overline {{P_3}{P_4}} = {P_4} - P3 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {240 - 140}\\ {120 - 220} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {100}\\ { - 100} \end{array}} \right) \to k = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \dfrac{{ - 100}}{{100}} = - 1 \end{array}\)
\(\overline {{P_3}{P_4}} \) ist eine Gerade, die wegen k=-1 im 45° Winkel durch den Punkt \(Max(200\left| {160)} \right.\) verläuft. Sie muss die x-Achse im Punkt \(\left( {0\left| {160 + 200} \right.} \right) = \left( {0\left| {360} \right.} \right)\) schneiden, wodurch sich d=360 ergibt
→ \(\overline {{P_3}{P_3}} :y = k \cdot x + d = - 1 \cdot x + 360\)
2. Teilaufgabe
Der gesuchte Punkt ist der Schnittpunkt der beiden Geraden und muss daher beide Gleichungen erfüllen. Wir setzen die beiden Gleichungen daher wie folgt gleich:
\(\begin{array}{l} - \dfrac{2}{7} \cdot x + 220 = - x + 360\,\,\,\,\,\left| { - 220} \right.\\ - \dfrac{2}{7} \cdot x = - x + 140\,\,\,\,\,\left| { + x} \right.\\ \left( { - \dfrac{2}{7} + \dfrac{7}{7}} \right) \cdot x = 140\\ \dfrac{5}{7} \cdot x = 140\,\,\,\,\,\left| { \cdot \dfrac{7}{5}} \right.\\ x = 196\\ \\ y = - x + 360 = - 196 + 360 = 164\\ \\ Max\left( {196\left| {164} \right.} \right) \end{array}\)
Der maximale Gewinn wird bei einer Produktion von x=196 Stück pikantem Fingerfood und y=164 Stück Dessert erzielt.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
1. Teilaufgabe
\(\begin{array}{l} {P_1}{P_2}:y = - \dfrac{2}{7} \cdot x + 220\\ {P_2}{P_4}:y = - 1 \cdot x + 360 \end{array}\)
2. Teilaufgabe
Der maximale Gewinn wird bei einer Produktion von 196 Stuck pikantem Fingerfood und 164 Stuck Dessert erzielt.
Lösungsschlüssel
1. Teilaufgabe
1 × A1: für das richtige Erstellen der Gleichung der Geraden P1P2 (KA)
1 × A2: für das richtige Erstellen der Gleichung der Geraden P3P4 (KA)
2. Teilaufgabe
1 × B: für die richtige Berechnung der Stückzahlen an pikantem Fingerfood und Dessert mit maximalem Gewinn (KB)